Questão 1. Durante um experimento de Física Experimental, uma turma de 26 estudantes mediu a resistência elétrica de amostras de uma substância. Cada estudante fez uma única medição, resultando em um conjunto de dados da resistência elétrica do material que varia entre 10 \Omega e 50 \Omega. Abaixo está a tabela com as medições obtidas:
Intervalo i(\Omega) Valor mediano x_{i} Frequência Absoluta f_{i} Probabilidade p_{i}=f_{i} / N
[10-15[ 2
[15-20[ 5
[20-25[ 8
[25-30[ 1
[30-35[ 2
[35-40[ 1
[40-45[ 1
[45-50[ 6
Tabela 1: Medições da resistência elétrica das amostras.
(a) (0,5) Complete a tabela acima, calculando para cada intervalo, o valor mediano x_{i} e a probabilidade p_{i}=f_{i} / N.
(b) (\mathbf{1 , 5}) Utilize os dados da tabela para construir um histograma das medições de resistência. Certifique-se de rotular os eixos adequadamente e de indicar a frequência absoluta em cada intervalo.
(c) (\mathbf{1}, \mathbf{5}) Calcule as médias ponderadas \langle x\rangle e \left\langle x^{2}\right\rangle : \quad\langle x\rangle= \square , \left\langle x^{2}\right\rangle= \square .
A partir delas, obtenha o desvio padrão \sigma=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}}: \sigma= \square .
(d) (\mathbf{0}, \mathbf{5}) Utilizando linhas verticais indique a localização no histograma da média \langle x\rangle e de \langle x\rangle \pm \sigma.

Passo 1

O enunciado pede estatística descritiva de um conjunto de N=26 medições de resistência elétrica entre 10\:\Omega e 50\:\Omega. Vamos:
  1. Preencher a tabela com valor mediano de cada classe x_i (ponto médio do intervalo) e probabilidade p_i = f_i/N.
  2. Construir o histograma de frequência absoluta.
  3. Calcular as médias ponderadas \langle x\rangle e \langle x^2\rangle e daí o desvio padrão \sigma.
  4. No histograma, marcar com linhas verticais x=\langle x\rangle e x=\langle x\rangle\pm\sigma.

Passo 2

O valor mediano (ponto médio) de cada intervalo [a_i,b_i[ é
x_i = \frac{a_i + b_i}{2},
e a probabilidade é
p_i = \frac{f_i}{N}.
Listando para cada intervalo:
  • Intervalo [10,15[:
    x_1 = \tfrac{10+15}{2} = 12,5,
    p_1 = 2/26 \approx 0,0769.
  • Intervalo [15,20[:
    x_2 = 17,5,
    p_2 = 5/26 \approx 0,1923.
  • Intervalo [20,25[:
    x_3 = 22,5,
    p_3 = 8/26 \approx 0,3077.
  • Intervalo [25,30[:
    x_4 = 27,5,
    p_4 = 1/26 \approx 0,0385.
  • Intervalo [30,35[:
    x_5 = 32,5,
    p_5 = 2/26 \approx 0,0769.
  • Intervalo [35,40[:
    x_6 = 37,5,
    p_6 = 1/26 \approx 0,0385.
  • Intervalo [40,45[:
    x_7 = 42,5,
    p_7 = 1/26 \approx 0,0385.
  • Intervalo [45,50[:
    x_8 = 47,5,
    p_8 = 6/26 \approx 0,2308.

Passo 3

Para o histograma:
  • Eixo horizontal: resistência x em \Omega, dividido em classes de largura 5\:\Omega: [10,15[,…, [45,50[.
  • Eixo vertical: frequência absoluta f_i.
  • Cada barra tem altura igual a f_i: 2, 5, 8, 1, 2, 1, 1 e 6, respectivamente.

Passo 4

Calcular
\langle x\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^8 x_i\,f_i = \frac{12{,}5\cdot2 + 17{,}5\cdot5 + 22{,}5\cdot8 + 27{,}5\cdot1 + 32{,}5\cdot2 + 37{,}5\cdot1 + 42{,}5\cdot1 + 47{,}5\cdot6}{26} = \frac{750}{26}\approx 28{,}85\:\Omega,
\langle x^2\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^8 x_i^2\,f_i = \frac{25512{,}5}{26}\approx 980{,}48\:\Omega^2.

Passo 5

O desvio padrão é
\sigma = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2} = \sqrt{980{,}48 - (28{,}85)^2} \approx 12{,}18\:\Omega.

Passo 6

No histograma, traçar linhas verticais em
x = \langle x\rangle \approx 28{,}85\:\Omega, \quad x = \langle x\rangle - \sigma \approx 16{,}67\:\Omega, \quad x = \langle x\rangle + \sigma \approx 41{,}03\:\Omega.

Resposta

(a) Valores medianos e probabilidades por classe:
  • [10,15[: x_1=12,5, p_1\approx0,0769
  • [15,20[: x_2=17,5, p_2\approx0,1923
  • [20,25[: x_3=22,5, p_3\approx0,3077
  • [25,30[: x_4=27,5, p_4\approx0,0385
  • [30,35[: x_5=32,5, p_5\approx0,0769
  • [35,40[: x_6=37,5, p_6\approx0,0385
  • [40,45[: x_7=42,5, p_7\approx0,0385
  • [45,50[: x_8=47,5, p_8\approx0,2308
(b) Histograma: eixo x de 10 a 50\Omega em classes de 5\Omega; eixo y frequência absoluta; alturas 2, 5, 8, 1, 2, 1, 1, 6.
(c) \displaystyle \langle x\rangle\approx28{,}85\:\Omega, \displaystyle \langle x^2\rangle\approx980{,}48\:\Omega^2, \displaystyle \sigma\approx12{,}18\:\Omega.
(d) Linhas verticais no histograma em x\approx16{,}67\:\Omega,\;28{,}85\:\Omega,\;41{,}03\:\Omega.

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