2^{\underline{\text { a }}} Questão. Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x, y)=x^{2} y^{3}-x y+x^{3} y^{2}. Considere \circ ponto P=(2,3) e vetor de direção \vec{v}=(1,3). Determine:
a) A derivada direcional (taxa de variação instantânea) da função f nas condições acima.
b) A derivada direcional máxima da função no ponto P.
c) O ângulo \alpha que o vetor gradiente forma com o eixo horizontal (eixo x ).
d) O ângulo \varphi formado entre o vetor unitário (na direção de \vec{v} ) e o vetor gradiente de f em P.
Dicas valiosas: essa questão exige que o aluno:
  • Calcule o gradiente de uma função de duas variáveis.
  • Normalize o vetor \vec{v} para obter um vetor unitário na direção indicada.
  • Utilize o produto escalar entre o gradiente (\vec{\nabla} f(P)) e o vetor unitário (\vec{u}) para determinar a derivada direcional.
  • Use relações trigonométricas apropriadas para obter os ângulos pedidos.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{2}y^{3}-xy+x^{3}y^{2},
o ponto P=(2,3) e o vetor de direção \vec{v}=(1,3). Pergunta-se:
  • (a) a derivada direcional de f no ponto P na direção de \vec{v};
  • (b) a derivada direcional máxima de f em P;
  • (c) o ângulo \alpha que o vetor gradiente forma com o eixo x;
  • (d) o ângulo \varphi entre o vetor unitário na direção de \vec{v} e o gradiente em P.
Informações relevantes fornecidas: o ponto P=(2,3) e o vetor \vec{v}=(1,3).

Passo 2

Primeiro precisamos do gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Vou calcular cada parcial com calma:
Derivando f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr).
Cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=2x\,y^{3}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=3x^{2}y^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}-y+3x^{2}y^{2}.
Derivando f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr).
Cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=3x^{2}y^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(xy)=x, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{2}\bigr)=2x^{3}y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}-x+2x^{3}y.

Passo 3

Avalio o gradiente no ponto P=(2,3). Substituo x=2 e y=3 nas expressões obtidas.
Calculemos \frac{\partial f}{\partial x}(2,3):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3) =2\cdot 2\cdot 3^{3}-3+3\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}.
Agora os números:
3^{3}=27,\quad 2\cdot 2\cdot 27=108,
2^{2}=4,\quad 3^{2}=9,\quad 3\cdot 4\cdot 9=108.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3)=108-3+108=213.
Calculemos \frac{\partial f}{\partial y}(2,3):
\frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=3\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}-2+2\cdot 2^{3}\cdot 3.
Novamente:
3\cdot 4\cdot 9=108,\quad 2^{3}=8,\quad 2\cdot 8\cdot 3=48.
Então
\frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=108-2+48=154.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(P)=\bigl(213,\;154\bigr).

Passo 4

Explico a relação entre gradiente e derivada direcional (aulas rápidas e amigáveis):
  • O gradiente \nabla f(P) aponta na direção da maior taxa de crescimento de f em P.
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \vec{u} vale o produto escalar \nabla f(P)\cdot\vec{u}.
  • Se o vetor dado não for unitário, primeiro normalizamos: \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • Produto escalar em \mathbb{R}^2: (a,b)\cdot(c,d)=ac+bd.
    Vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 5

Normalizo o vetor \vec{v}=(1,3). A norma é
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.
O vetor unitário na mesma direção é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\;\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Passo 6

Calculo a derivada direcional (resposta do item a). Usando \nabla f(P)\cdot\vec{u}:
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec{u} =213\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}+154\cdot\frac{3}{\sqrt{10}} =\frac{213+462}{\sqrt{10}} =\frac{675}{\sqrt{10}}.
Uma forma alternativa e às vezes mais bonita:
\frac{675}{\sqrt{10}}=\frac{135}{2}\sqrt{10}.
Para ter uma ideia numérica:
D_{\vec{u}}f(P)\approx 213,454\\ (\text{valor aproximado}).

Passo 7

Derivada direcional máxima (item b). A derivada direcional máxima em P é exatamente a norma do gradiente:
\max_{\|\vec{w}\|=1}D_{\vec{w}}f(P)=\|\nabla f(P)\|.
Calculo a norma de \nabla f(P)=(213,154):
\|\nabla f(P)\|=\sqrt{213^{2}+154^{2}}=\sqrt{69085}.
Aproximação numérica:
\|\nabla f(P)\|\approx 262,840.

Passo 8

Ângulo \alpha entre o gradiente e o eixo x (item c). Para um vetor (a,b) o ângulo com o eixo x satisfaz
\alpha=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right).
Aqui a=213 e b=154, logo
\alpha=\arctan\!\left(\frac{154}{213}\right).
Observação: como 213>0 e 154>0, o ângulo está no primeiro quadrante (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}). Aproximação em graus:
\alpha\approx 35,87^\circ\quad(\text{aprox.}).
Também em radianos:
\alpha\approx 0,626\\ \text{rad}\quad(\text{aprox.}).

Passo 9

Ângulo \varphi entre o vetor unitário \vec{u} (na direção de \vec{v}) e o gradiente (item d). Uso a fórmula do produto escalar:
\cos\varphi=\frac{\nabla f(P)\cdot\vec{u}}{\|\nabla f(P)\|\,\|\vec{u}\|}.
Como \|\vec{u}\|=1, isto simplifica para
\cos\varphi=\frac{D_{\vec{u}}f(P)}{\|\nabla f(P)\|}.
Substituindo os valores já calculados:
\cos\varphi=\frac{\dfrac{675}{\sqrt{10}}}{\sqrt{69085}} =\frac{675}{\sqrt{10}\,\sqrt{69085}} =\frac{675}{\sqrt{690850}}.
Assim
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{675}{\sqrt{690850}}\right).
Uma forma alternativa, que ajuda a interpretar geometricamente, é notar que \varphi é a diferença entre o ângulo do vetor \vec{v} (que tem ângulo \arctan(3)) e o ângulo do gradiente \alpha:
\varphi=\arctan(3)-\arctan\!\left(\frac{154}{213}\right).
Aproximação numérica:
\varphi\approx 35,70^\circ\quad(\text{aprox.}).

Resposta

(a) D_{\vec{u}}f(P)=\dfrac{675}{\sqrt{10}}=\dfrac{135}{2}\sqrt{10}\approx 213,454.
(b) \displaystyle \max D_{\vec{w}}f(P)=\|\nabla f(P)\|=\sqrt{69085}\approx 262,840.
(c) \displaystyle \alpha=\arctan\!\left(\frac{154}{213}\right)\approx 35,87^\circ (≈ 0,626 rad).
(d) \displaystyle \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{675}{\sqrt{690850}}\right)=\arctan(3)-\arctan\!\left(\frac{154}{213}\right)\approx 35,70^\circ.

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