2^{\underline{\text { a }}} Questão. Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x, y)=x^{2} y^{3}-x y+x^{3} y^{2}. Considere \circ ponto P=(2,3) e vetor de direção \vec{v}=(1,3). Determine:
a) A derivada direcional (taxa de variação instantânea) da função f nas condições acima.
b) A derivada direcional máxima da função no ponto P.
c) O ângulo \alpha que o vetor gradiente forma com o eixo horizontal (eixo x ).
d) O ângulo \varphi formado entre o vetor unitário (na direção de \vec{v} ) e o vetor gradiente de f em P.
Dicas valiosas: essa questão exige que o aluno:
Calcule o gradiente de uma função de duas variáveis.
Normalize o vetor \vec{v} para obter um vetor unitário na direção indicada.
Utilize o produto escalar entre o gradiente (\vec{\nabla} f(P)) e o vetor unitário (\vec{u}) para determinar a derivada direcional.
Use relações trigonométricas apropriadas para obter os ângulos pedidos.
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{2}y^{3}-xy+x^{3}y^{2},
o ponto P=(2,3) e o vetor de direção \vec{v}=(1,3). Pergunta-se:
(a) a derivada direcional de f no ponto P na direção de \vec{v};
(b) a derivada direcional máxima de f em P;
(c) o ângulo \alpha que o vetor gradiente forma com o eixo x;
(d) o ângulo \varphi entre o vetor unitário na direção de \vec{v} e o gradiente em P.
Informações relevantes fornecidas: o ponto P=(2,3) e o vetor \vec{v}=(1,3).
Passo 2
Primeiro precisamos do gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Uma forma alternativa, que ajuda a interpretar geometricamente, é notar que \varphi é a diferença entre o ângulo do vetor \vec{v} (que tem ângulo \arctan(3)) e o ângulo do gradiente \alpha: