a é uma constante (assume-se a\neq 0, caso contrário o denominador é -x^2 e a integral é diferente).
A integral é tomada em um intervalo onde x\neq\pm a (pois nesses pontos o integrando é singular).
O objetivo é calcular a integral indefinida e chegar na expressão acima.
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para preparar uma decomposição em frações parciais.
a^{2}-x^{2}=(a-x)(a+x).
Portanto o integrando pode ser escrito como
\frac{1}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{(a-x)(a+x)}.
A ideia é usar decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{(a-x)(a+x)}=\frac{A}{a-x}+\frac{B}{a+x},
onde A e B são constantes a determinar.
Passo 3
Encontrar A e B. Igualando numeradores depois de colocar em denominador comum: