Prove a fórmula \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: provar a fórmula
\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C.
Informações dadas (ou implícitas):
  • a é uma constante (assume-se a\neq 0, caso contrário o denominador é -x^2 e a integral é diferente).
  • A integral é tomada em um intervalo onde x\neq\pm a (pois nesses pontos o integrando é singular).
    O objetivo é calcular a integral indefinida e chegar na expressão acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o denominador para preparar uma decomposição em frações parciais.
a^{2}-x^{2}=(a-x)(a+x).
Portanto o integrando pode ser escrito como
\frac{1}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{(a-x)(a+x)}.
A ideia é usar decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{(a-x)(a+x)}=\frac{A}{a-x}+\frac{B}{a+x},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Encontrar A e B. Igualando numeradores depois de colocar em denominador comum:
\frac{A}{a-x}+\frac{B}{a+x}=\frac{A(a+x)+B(a-x)}{(a-x)(a+x)}.
Como isso deve ser igual a \dfrac{1}{(a-x)(a+x)} para todo x (exceto os pontos singulares), temos a identidade polinomial
A(a+x)+B(a-x)=1\quad\text{para todo }x.
Usa-se aqui o método simples de substituir x=a e x=-a para achar A e B:
  • Tomando x=a:
A( a+a )+B( a-a )=1 \implies 2aA=1 \implies A=\frac{1}{2a}.
  • Tomando x=-a:
A( a+(-a) )+B( a-(-a) )=1 \implies 2aB=1 \implies B=\frac{1}{2a}.
Portanto
\frac{1}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}\right).

Passo 4

Agora substituímos essa decomposição na integral e integramos termo a termo:
\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x}\right)\,dx.
Lembrete útil (fórmula básica de integração): para constante k e função linear u(x)=x+c vale
\int \frac{dx}{x+c}=\ln|x+c|+C,
pois \dfrac{d}{dx}\ln|x+c|=\dfrac{1}{x+c}. Também, se u(x)=a-x então \dfrac{d}{dx}\ln|a-x|=-\dfrac{1}{a-x}.

Passo 5

Integração dos termos explicitamente, com atenção aos sinais:
  • Para o segundo termo,
\int \frac{dx}{a+x}=\ln|a+x|+C_1.
  • Para o primeiro termo, faça a substituição u=a-x (ou use a observação da derivada do log):
\int \frac{dx}{a-x}=-\ln|a-x|+C_2,
porque du=-dx e \int \frac{dx}{a-x}=-\int \frac{du}{u}=-\ln|u|.
Somando os dois resultados e multiplicando por \dfrac{1}{2a}, obtemos
\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\bigl(-\ln|a-x|+\ln|a+x|\bigr)+C.

Passo 6

Combinar os logaritmos em um único logaritmo:
-\ln|a-x|+\ln|a+x|=\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|.
Como |a\pm x|=|x\pm a|, pode-se reescrever a fração trocando a ordem das somas:
\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|=\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|.
Portanto a integral fica
\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C,
concluindo a prova. Reforçando: a fórmula vale para a\neq 0 e para x\neq\pm a.

Resposta

\int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C

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