1á Questão. Seja a função
definida por:
. Determine o domínio desta função, apresentando a resposta nas formas algébrica e geométrica.
Passo 1
O enunciado diz: a função
é
O que se pede: determinar o domínio
da função, apresentando-o em forma algébrica e em forma geométrica.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- A função tem um fator
. - A função tem um fator
.
Passo 2
Regras que valem para o domínio (aula rápida):
- Para
ser real, é necessário que o radicando seja não negativo. Ou seja, para precisamos de
Aqui
e
são variáveis reais; isso significa
deve ser maior ou igual a
.
- Para
ser definido (número real), o argumento do log deve ser estritamente positivo. Ou seja, para precisamos de
Portanto a condição para um par
estar no domínio é que as duas desigualdades acima ocorram simultaneamente.
Passo 3
Escrevendo as duas condições juntas (forma algébrica direta):
Isto é equivalente à forma mais compacta
Essa é uma descrição algébrica válida e correta do domínio.
Passo 4
Queremos entender geometricamente o que essas duas desigualdades significam no plano
:
-
A curva
é uma parábola com eixo paralelo ao eixo , voltada para a direita. A condição representa o conjunto de pontos que estão sobre a parábola ou à sua direita (região à direita da parábola, incluindo a fronteira). -
A reta
é uma reta com inclinação reescrita como . A condição representa os pontos estritamente à direita dessa reta (a fronteira da reta não está incluída porque o log exige estrita positivade).
O domínio é, portanto, a interseção dessas duas regiões: os pontos que estão (i) à direita ou sobre a parábola
e (ii) estritamente à direita da reta
.
Passo 5
Para visualizar melhor onde fica a interseção convém ver onde a parábola e a reta se cruzam: resolver
.
Os pontos de interseção têm coordenadas
e
, ou seja
Calculando
obtemos
e
(aprox.
e
respectivamente).
Analisando a diferença
:
- Para
tem-se , isto é : a reta está mais à direita que a parábola nesse intervalo de . - Para
ou tem-se , isto é : a parábola está mais à direita que a reta fora desse intervalo.
Passo 6
Da análise anterior decorre uma descrição geométrica detalhada (útil na prova):
- Se
então . Então a condição dominante é . Portanto, para esses o domínio é a região estritamente à direita da reta: . - Se
ou então . Então a condição dominante é . Note que, fora das interseções, já implica automaticamente porque , então o domínio para esses é a região à direita da parábola incluindo a fronteira: . - Nos pontos onde
(as interseções) temos . Nesses dois valores de a condição do log impõe o que significa — portanto a fronteira fica excluída exatamente nesses dois valores de .
Resumo geométrico simples e intuitivo:
- Geometricamente,
é a região do plano que está à direita da reta (estritamente à direita) e simultaneamente à direita da parábola (à direita incluindo a parábola), com a observação de que nos dois pontos de interseção da reta com a parábola a igualdade fica excluída por causa do log. Em termos práticos: tomar a região comum dos dois semiplanos à direita, lembrando que a fronteira da reta não entra, enquanto a fronteira da parábola entra exceto nos pontos de interseção.
Resposta
Algebraica:
, isto é
Geométrica: Conjunto dos pontos do plano que estão à direita (incluindo a fronteira) da parábola
e, ao mesmo tempo, estritamente à direita da reta
. Equivalente a: para
tem
; para
ou
tem
.