1á Questão. Seja a função f: \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por: f(x, y)=\sqrt{x-y^{2}} \cdot \ln (x-2 y-2). Determine o domínio desta função, apresentando a resposta nas formas algébrica e geométrica.

Passo 1

O enunciado diz: a função f:\mathbb{D}\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é
f(x,y)=\sqrt{x-y^{2}}\cdot\ln(x-2y-2).
O que se pede: determinar o domínio \mathbb{D} da função, apresentando-o em forma algébrica e em forma geométrica.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função tem um fator \sqrt{x-y^{2}}.
  • A função tem um fator \ln(x-2y-2).

Passo 2

Regras que valem para o domínio (aula rápida):
  • Para \sqrt{\text{algo}} ser real, é necessário que o radicando seja não negativo. Ou seja, para \sqrt{x-y^{2}} precisamos de
x-y^{2}\ge 0.
Aqui x e y são variáveis reais; isso significa x deve ser maior ou igual a y^{2}.
  • Para \ln(\text{algo}) ser definido (número real), o argumento do log deve ser estritamente positivo. Ou seja, para \ln(x-2y-2) precisamos de
x-2y-2>0.
Portanto a condição para um par (x,y) estar no domínio é que as duas desigualdades acima ocorram simultaneamente.

Passo 3

Escrevendo as duas condições juntas (forma algébrica direta):
\mathbb{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y^{2}\ge 0,\; x-2y-2>0\}.
Isto é equivalente à forma mais compacta
\mathbb{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge y^{2}\\ \text{ e }\\ x>2y+2\}.
Essa é uma descrição algébrica válida e correta do domínio.

Passo 4

Queremos entender geometricamente o que essas duas desigualdades significam no plano (x,y):
  • A curva x=y^{2} é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, voltada para a direita. A condição x\ge y^{2} representa o conjunto de pontos que estão sobre a parábola ou à sua direita (região à direita da parábola, incluindo a fronteira).
  • A reta x=2y+2 é uma reta com inclinação 2 reescrita como x-2y-2=0. A condição x>2y+2 representa os pontos estritamente à direita dessa reta (a fronteira da reta não está incluída porque o log exige estrita positivade).
O domínio é, portanto, a interseção dessas duas regiões: os pontos que estão (i) à direita ou sobre a parábola x=y^{2} e (ii) estritamente à direita da reta x=2y+2.

Passo 5

Para visualizar melhor onde fica a interseção convém ver onde a parábola e a reta se cruzam: resolver y^{2}=2y+2.
y^{2}-2y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=1\pm\sqrt{3}.
Os pontos de interseção têm coordenadas y=1\pm\sqrt{3} e x=y^{2}, ou seja
\bigl( x,y\bigr)=\bigl( (1\pm\sqrt{3})^{2},\;1\pm\sqrt{3}\bigr).
Calculando (1\pm\sqrt{3})^{2} obtemos (1+\sqrt{3})^{2}=4+2\sqrt{3} e (1-\sqrt{3})^{2}=4-2\sqrt{3} (aprox. 7{,}464 e 0{,}536 respectivamente).
Analisando a diferença g(y)=y^{2}-(2y+2)=y^{2}-2y-2:
  • Para y\in(1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}) tem-se g(y)<0, isto é y^{2}<2y+2: a reta está mais à direita que a parábola nesse intervalo de y.
  • Para y\le 1-\sqrt{3} ou y\ge 1+\sqrt{3} tem-se g(y)>0, isto é y^{2}>2y+2: a parábola está mais à direita que a reta fora desse intervalo.

Passo 6

Da análise anterior decorre uma descrição geométrica detalhada (útil na prova):
  • Se y\in\bigl(1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}\bigr) então 2y+2>y^{2}. Então a condição dominante é x>2y+2. Portanto, para esses y o domínio é a região estritamente à direita da reta: \{x>2y+2\}.
  • Se y\le 1-\sqrt{3} ou y\ge 1+\sqrt{3} então y^{2}>2y+2. Então a condição dominante é x\ge y^{2}. Note que, fora das interseções, x\ge y^{2} já implica automaticamente x>2y+2 porque y^{2}>2y+2, então o domínio para esses y é a região à direita da parábola incluindo a fronteira: \{x\ge y^{2}\}.
  • Nos pontos onde y=1\pm\sqrt{3} (as interseções) temos y^{2}=2y+2. Nesses dois valores de y a condição do log impõe x>2y+2 o que significa x>y^{2} — portanto a fronteira x=y^{2} fica excluída exatamente nesses dois valores de y.
Resumo geométrico simples e intuitivo:
  • Geometricamente, \mathbb{D} é a região do plano que está à direita da reta x=2y+2 (estritamente à direita) e simultaneamente à direita da parábola x=y^{2} (à direita incluindo a parábola), com a observação de que nos dois pontos de interseção da reta com a parábola a igualdade x=y^{2} fica excluída por causa do log. Em termos práticos: tomar a região comum dos dois semiplanos à direita, lembrando que a fronteira da reta não entra, enquanto a fronteira da parábola entra exceto nos pontos de interseção.

Resposta

Algebraica: \displaystyle \mathbb{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y^{2}\ge 0,\; x-2y-2>0\}, isto é \displaystyle \mathbb{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge y^{2}\\ \text{ e }\\ x>2y+2\}.
Geométrica: Conjunto dos pontos do plano que estão à direita (incluindo a fronteira) da parábola x=y^{2} e, ao mesmo tempo, estritamente à direita da reta x=2y+2. Equivalente a: para y\in(1-\sqrt{3},\,1+\sqrt{3}) tem x>2y+2; para y\le 1-\sqrt{3} ou y\ge 1+\sqrt{3} tem x\ge y^{2}.

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