Seja a superfície z=f(x, y)=x^{2} y^{3}-x y+x^{3} y^{2}, e considere o ponto P=(2,3). Sabe-se que o plano tangente a essa superfície pode ser expresso na forma a x+b y-z+d=0. Com base nisso, determine o valor da soma a+b+d.
Fórmula útil: a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto ( x_{0}, y_{0} ) é dada por: z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{\partial f}{\partial y_{0}}\left(y-y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y^{3}-xy+x^{3}y^{2} e o ponto P=(2,3). Diz também que o plano tangente pode ser escrito na forma a x+b y-z+d=0. O que se pede é o valor da soma a+b+d.
Informações relevantes:
  • Função: f(x,y)=x^{2}y^{3}-xy+x^{3}y^{2}.
  • Ponto: P=(2,3).
  • Forma do plano tangente: a x+b y-z+d=0.
  • Fórmula do plano tangente (fornecida): z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).

Passo 2

Primeiro calculemos z_{0}=f(2,3). Substituindo x=2 e y=3:
f(2,3)=2^{2}\cdot 3^{3}-2\cdot 3+2^{3}\cdot 3^{2}.
Agora calculamos termo a termo:
2^{2}\cdot 3^{3}=4\cdot 27=108,
-2\cdot 3=-6,
2^{3}\cdot 3^{2}=8\cdot 9=72.
Somando:
f(2,3)=108-6+72=174.
Portanto z_{0}=174.

Passo 3

Vamos entender e calcular as derivadas parciais. A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x considerando y como constante. Para funções polinomiais em x e y basta derivar termo a termo aplicando a regra do poder (se x^{n} então derivada é n x^{n-1}) e tratar y como uma constante multiplicativa.
Para a nossa função:
  • Derivada de x^{2}y^{3} em relação a x é 2x y^{3} (porque y^{3} é constante).
  • Derivada de -xy em relação a x é -y.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a x é 3x^{2}y^{2}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x y^{3}-y+3x^{2}y^{2}.

Passo 4

Agora avaliamos \frac{\partial f}{\partial x} no ponto (2,3):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3)=2\cdot 2\cdot 3^{3}-3+3\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}.
Calculando:
2\cdot 2\cdot 27=108, \qquad 3\cdot 4\cdot 9=108.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3)=108-3+108=213.

Passo 5

Agora a derivada parcial em relação a y. A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f em relação a y tratando x como constante. Novamente, derivamos termo a termo:
  • Derivada de x^{2}y^{3} em relação a y é 3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de -xy em relação a y é -x.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a y é 2x^{3}y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}-x+2x^{3}y.

Passo 6

Avaliando em (2,3):
\frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=3\cdot 2^{2}\cdot 3^{2}-2+2\cdot 2^{3}\cdot 3.
Calculando:
3\cdot 4\cdot 9=108, \qquad 2\cdot 8\cdot 3=48.
Então
\frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=108-2+48=154.

Passo 7

Agora usamos a fórmula do plano tangente com x_{0}=2, y_{0}=3, z_{0}=174, f_{x}(2,3)=213 e f_{y}(2,3)=154:
z-174=213(x-2)+154(y-3).
Vamos expandir o lado direito:
213(x-2)+154(y-3)=213x-426+154y-462=213x+154y-888.
Logo
z-174=213x+154y-888.

Passo 8

Rearranjamos a equação para a forma a x+b y-z+d=0. Primeiro movemos todos os termos para o mesmo lado:
z-174-(213x+154y-888)=0.
Isso dá
-213x-154y+z+714=0.
Multiplicando por -1 (para obter o sinal padrão pedido) temos
213x+154y-z-714=0.
Comparando com a x+b y-z+d=0 concluímos que
a=213,\qquad b=154,\qquad d=-714.

Passo 9

Finalmente calculamos a soma pedida:
a+b+d=213+154-714.
Primeiro 213+154=367. Então
367-714=-347.

Resposta

-347

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