Seja a superfície
, e considere o ponto
. Sabe-se que o plano tangente a essa superfície pode ser expresso na forma
. Com base nisso, determine o valor da soma
.
Fórmula útil: a equação do plano tangente à superfície
no ponto (
) é dada por:
.
Fórmula útil: a equação do plano tangente à superfície
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Diz também que o plano tangente pode ser escrito na forma
. O que se pede é o valor da soma
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto:
. - Forma do plano tangente:
. - Fórmula do plano tangente (fornecida):
Passo 2
Primeiro calculemos
. Substituindo
e
:
Agora calculamos termo a termo:
Somando:
Portanto
.
Passo 3
Vamos entender e calcular as derivadas parciais. A derivada parcial
é a derivada de
em relação a
considerando
como constante. Para funções polinomiais em
e
basta derivar termo a termo aplicando a regra do poder (se
então derivada é
) e tratar
como uma constante multiplicativa.
Para a nossa função:
- Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo,
Passo 4
Agora avaliamos
no ponto
:
Calculando:
Então
Passo 5
Agora a derivada parcial em relação a
. A derivada parcial
é a derivada de
em relação a
tratando
como constante. Novamente, derivamos termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 6
Avaliando em
:
Calculando:
Então
Passo 7
Agora usamos a fórmula do plano tangente com
,
,
,
e
:
Vamos expandir o lado direito:
Logo
Passo 8
Rearranjamos a equação para a forma
. Primeiro movemos todos os termos para o mesmo lado:
Isso dá
Multiplicando por
(para obter o sinal padrão pedido) temos
Comparando com
concluímos que
Passo 9
Finalmente calculamos a soma pedida:
Primeiro
. Então