Se \underline{P} é o vetor posição instantânea de uma partícula:
a) Calcular as expressões da velocidade e da aceleração da partícula em coordenadas cartesianas.
b) Mostrar que em coordenadas cilíndricas:
\begin{aligned} & \underline{v}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \underline{P}=r^{\prime} \underline{\delta}_{\underline{r}}+r \theta^{\prime} \underline{\delta}_{\theta}+z^{\prime} \underline{\delta}_{z} \\\ & \underline{a}=\left(r^{\prime \prime}-r \theta^{\prime 2}\right) \delta_{\underline{r}}+\left(r \theta^{\prime \prime}+2 r^{\prime} \theta^{\prime}\right) \delta_{\theta}+z^{\prime \prime} \delta_{z} \end{aligned}
onde os símbolos linha e duas linhas indicam, respectivamente, as derivadas primeira e segunda com relação ao tempo.

Passo 1

O enunciado pede (a) as expressões de velocidade \underline{v}=\dot{\underline{P}} e aceleração \underline{a}=\ddot{\underline{P}} em coordenadas cartesianas e (b) mostrar que em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) valem
\underline{v}=r'\,\underline{\delta}_r + r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta + z'\,\underline{\delta}_z,
\underline{a}=(r''-r\,\theta'^2)\,\underline{\delta}_r + (r\,\theta''+2\,r'\,\theta')\,\underline{\delta}_\theta + z''\,\underline{\delta}_z.
Vamos usar derivação de vetores de base e mudança de coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas temos
\underline{P}(t)=x(t)\,\hat{\imath} + y(t)\,\hat{\jmath} + z(t)\,\hat{k}.
A definição de velocidade é \underline{v}=\frac{\mathrm{d}\underline{P}}{\mathrm{d}t} e de aceleração é \underline{a}=\frac{\mathrm{d}\underline{v}}{\mathrm{d}t}.

Passo 3

Derivando componente a componente em função de t, obtemos
\underline{v}=\dot{x}\,\hat{\imath} + \dot{y}\,\hat{\jmath} + \dot{z}\,\hat{k},
\underline{a}=\ddot{x}\,\hat{\imath} + \ddot{y}\,\hat{\jmath} + \ddot{z}\,\hat{k}.

Passo 4

Para passar a coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e definimos os versores radiais
\underline{\delta}_r = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath}, \quad \underline{\delta}_\theta = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath}, \quad \underline{\delta}_z = \hat{k}.

Passo 5

Para a velocidade em cilíndricas derivamos
\underline{v} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r\,\underline{\delta}_r + z\,\underline{\delta}_z) =r'\,\underline{\delta}_r + r\,\underline{\delta}_r' + z'\,\underline{\delta}_z.
Como \underline{\delta}_r'=\theta'\,\underline{\delta}_\theta, segue
\underline{v} =r'\,\underline{\delta}_r + r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta + z'\,\underline{\delta}_z.

Passo 6

Para a aceleração diferenciamos \underline{v}:
\underline{a} =\frac{\mathrm{d}\underline{v}}{\mathrm{d}t} =\bigl(r''\,\underline{\delta}_r + r'\,\underline{\delta}_r'\bigr) +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta\bigr) +z''\,\underline{\delta}_z.
Sabendo que \underline{\delta}_r'=\theta'\,\underline{\delta}_\theta e \underline{\delta}_\theta'=-\theta'\,\underline{\delta}_r,
temos
r'\,\underline{\delta}_r' = r'\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta) = (r'\,\theta' + r\,\theta'')\,\underline{\delta}_\theta + r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta'.
Logo
r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta' = -r\,\theta'^2\,\underline{\delta}_r,
e agrupando termos em \underline{\delta}_r e \underline{\delta}_\theta resulta
\underline{a} =(r'' - r\,\theta'^2)\,\underline{\delta}_r + (r\,\theta'' + 2\,r'\,\theta')\,\underline{\delta}_\theta + z''\,\underline{\delta}_z.

Resposta

a)
\underline{v}=\dot{x}\,\hat{\imath} + \dot{y}\,\hat{\jmath} + \dot{z}\,\hat{k}, \quad \underline{a}=\ddot{x}\,\hat{\imath} + \ddot{y}\,\hat{\jmath} + \ddot{z}\,\hat{k}.
b)
\underline{v}=r'\,\underline{\delta}_r + r\,\theta'\,\underline{\delta}_\theta + z'\,\underline{\delta}_z,
\underline{a}=(r''-r\,\theta'^2)\,\underline{\delta}_r + (r\,\theta''+2\,r'\,\theta')\,\underline{\delta}_\theta + z''\,\underline{\delta}_z.

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