Calcular \underline{\nabla} \cdot \underline{v} em cordenadas:
(b) cilíndricas

Passo 1

O enunciado pede a expressão da divergência \underline{\nabla}\cdot\underline{v} de um campo vetor \underline{v}=v_{r}\,\hat e_{r}+v_{\varphi}\,\hat e_{\varphi}+v_{z}\,\hat e_{z}
em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z). Para isso vamos usar a fórmula de divergência em coordenadas curvilíneas ortogonais.

Passo 2

Em um sistema ortogonal com variáveis (q_{1},q_{2},q_{3}) e fatores de escala (h_{1},h_{2},h_{3}), vale
\underline{\nabla}\cdot\underline{v} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(h_{2}h_{3}\,v_{1}\bigr) +\frac{\partial}{\partial q_{2}}\bigl(h_{3}h_{1}\,v_{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial q_{3}}\bigl(h_{1}h_{2}\,v_{3}\bigr) \Bigr].
No caso cilíndrico temos
(q_{1},q_{2},q_{3})=(r,\varphi,z), \quad (h_{r},h_{\varphi},h_{z})=(1,r,1).

Passo 3

Substituindo em cada termo da fórmula, obtemos
\underline{\nabla}\cdot\underline{v} =\frac{1}{(1)\,(r)\,(1)}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\cdot1\,v_{r}\bigr) +\frac{\partial}{\partial \varphi}\bigl(1\cdot1\,v_{\varphi}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(1\cdot r\,v_{z}\bigr) \Bigr],
isto é,
\underline{\nabla}\cdot\underline{v} =\frac{1}{r}\Bigl[ \frac{\partial}{\partial r}(r\,v_{r}) +\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial}{\partial z}(r\,v_{z}) \Bigr].

Passo 4

Como r é independente de z, temos \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(r\,v_{z})=r\,\frac{\partial v_{z}}{\partial z}.
Dividindo por r e simplificando, fica
\underline{\nabla}\cdot\underline{v} =\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}(r\,v_{r}) +\frac{1}{r}\,\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial v_{z}}{\partial z}.

Resposta

\underline{\nabla}\cdot\underline{v} =\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}(r\,v_{r}) +\frac{1}{r}\,\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial v_{z}}{\partial z}.

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