(2,5 pontos) Um oleoduto de 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro externo a, \mathrm{Ti}=150^{\circ} \mathrm{C}, transporta óleo e está exposto a um ambiente a \mathrm{Ti}=25^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência convectiva \mathrm{h}=50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Calcule a espessura do isolamento de amianto \left(\mathrm{k}=0.1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) necessário para reduzir 30 \% a perda de calor do tubo.

Passo 1

O oleoduto tem diâmetro externo D_1=2,5,cm, portanto raio externo
r_1=\frac{D_1}{2}=0,0125\text{ m}.
O óleo está a T_i=150{^\circ\!C}, o ambiente a T_\infty=25{^\circ\!C} e o coeficiente convectivo é h=50,W/( m^{2} \cdot\circC). O isolamento é de amianto com condutividade térmica k=0,1,W/(m \cdot\circC). Queremos uma espessura \delta = r_2 - r_1 tal que a perda de calor caia 30 % em relação ao tubo nu.

Passo 2

Para o tubo nu, a resistência térmica por convecção (por metro de comprimento) é
R_{\text{conv},\,\text{nu}} =\frac{1}{h\,(2\pi r_1\cdot1)} =\frac{1}{50\cdot2\pi\cdot0.0125}.
A taxa de transmissão de calor é
\dot Q_{\text{nu}} =\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{conv},\,\text{nu}}} =(T_i-T_\infty)\,h\,2\pi r_1.

Passo 3

Com isolamento de raio externo r_2, a resistência total (condução no anel + convecção na superfície externa) vale
R_{\text{tot}} =R_{\text{cond}}+R_{\text{conv},\,\text{iso}} =\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k} +\frac{1}{h\,2\pi r_2}.
A nova taxa de calor é
\dot Q_{\text{iso}} =\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.

Passo 4

Queremos reduzir 30 %, isto é
\dot Q_{\text{iso}}=0,7\,\dot Q_{\text{nu}} \quad\Longrightarrow\quad R_{\text{tot}}=\frac{T_i-T_\infty}{0.7\,\dot Q_{\text{nu}}} =\frac{1}{0.7}\,R_{\text{conv},\,\text{nu}}.
Substituindo R_{\text{conv},\,\text{nu}}=1/(h\,2\pi r_1) e multiplicando tudo por 2\pi, obtemos a equação para r_2:
\frac{\ln(r_2/r_1)}{k}+\frac{1}{h\,r_2} =\frac{1}{0.7\,h\,r_1}.

Passo 5

Inserindo os valores numéricos e simplificando, chega-se a
\ln\!\bigl(r_2/0.0125\bigr) +\frac{0,1}{50\,r_2} =0,2286.
Resolvendo por tentativa (ou método numérico), encontra-se
r_2\approx0,01356\text{ m}.
Logo a espessura de isolamento é
\delta = r_2 - r_1 \approx0,01356 - 0,01250 =0,00106\text{ m}.

Resposta

A espessura de isolamento de amianto deve ser aproximadamente 1{,}06 mm.

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