(Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 \mathrm{~m} de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 \mathrm{~m} de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Altura do obelisco: H=12\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento da sombra do obelisco: L=4{,}8\\ \mathrm{m}.
    • Altura da pessoa: h=1{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta que o problema faz:
    • Qual a distância máxima, medida ao longo da sombra a partir do centro da base do obelisco, que a pessoa de altura h pode se afastar para ficar totalmente na sombra do obelisco?

Passo 2

Entender a geometria e a ideia principal — explicação didática (sem pular etapas).
  • Quando o Sol está em uma posição fixa, os raios solares que tangenciam o topo do obelisco definem a borda da sombra no solo. A reta que liga o topo do obelisco (x=0,y=H) ao ponto mais afastado da sombra no solo (x=L,y=0) é a fronteira entre sombra e luz.
  • Para qualquer posição x medida a partir da base do obelisco ao longo da sombra (com 0\le x\le L), a altura máxima que ainda fica na sombra naquele ponto é dada pela altura da fronteira nessa posição. Essa fronteira é uma reta decrescente que passa por (0,H) e (L,0). A equação dessa reta (altura da sombra em função de x) é:
y(x)=H-\frac{H}{L}\,x.
  • Interpretação: em x=0 tem y(0)=H (topo do obelisco), em x=L tem y(L)=0 (ponto final da sombra). Para estar totalmente na sombra, toda a altura da pessoa (isto é, até y=h) deve estar abaixo dessa reta — ou seja, é necessário h\le y(x).

Passo 3

Transformar a condição em uma desigualdade e isolar a distância máxima.
  • A condição h\le y(x) vira:
h \le H-\frac{H}{L}\,x.
  • Isolando x:
\frac{H}{L}\,x \le H-h \qquad\Rightarrow\qquad x \le L\!\left(1-\frac{h}{H}\right).
  • Assim a distância máxima permitida é
x_{\max}=L\!\left(1-\frac{h}{H}\right).

Passo 4

Aplicar os números e calcular passo a passo (mostrando raciocínio e pequenas contas).
  • Calcular a razão \dfrac{h}{H}:
\frac{h}{H}=\frac{1{,}80}{12}=0{,}15.
  • Subtrair de 1:
1-\frac{h}{H}=1-0{,}15=0{,}85.
  • Expressão com os valores:
x_{\max}=4{,}8\cdot0{,}85.

Passo 5

Uma forma alternativa, intuitiva e equivalente (para fixar a ideia).
  • A sombra projetada por um objeto é proporcional à sua altura quando os raios solares têm a mesma inclinação. Assim o comprimento da sombra da pessoa seria
\ell_p=\frac{h}{H}\,L=\;0{,}15\cdot4{,}8=0{,}72\\ \mathrm{m}.
  • Para a pessoa ficar totalmente dentro da sombra do obelisco, a extremidade da sombra da pessoa (que fica em x+\ell_p se a pessoa está em x) não pode ultrapassar o fim da sombra do obelisco em x=L. Logo
x+\ell_p \le L \quad\Rightarrow\quad x \le L-\ell_p,
o que dá a mesma fórmula porque L-\ell_p=L-\dfrac{h}{H}L=L\big(1-\dfrac{h}{H}\big).

Resposta

4{,}08\\ \mathrm{m}

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