(Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de
de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de
de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
-
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Altura do obelisco:
. - Comprimento da sombra do obelisco:
. - Altura da pessoa:
.
- Altura do obelisco:
-
Pergunta que o problema faz:
- Qual a distância máxima, medida ao longo da sombra a partir do centro da base do obelisco, que a pessoa de altura
pode se afastar para ficar totalmente na sombra do obelisco?
- Qual a distância máxima, medida ao longo da sombra a partir do centro da base do obelisco, que a pessoa de altura
Passo 2
Entender a geometria e a ideia principal — explicação didática (sem pular etapas).
- Quando o Sol está em uma posição fixa, os raios solares que tangenciam o topo do obelisco definem a borda da sombra no solo. A reta que liga o topo do obelisco
ao ponto mais afastado da sombra no solo é a fronteira entre sombra e luz. - Para qualquer posição
medida a partir da base do obelisco ao longo da sombra (com ), a altura máxima que ainda fica na sombra naquele ponto é dada pela altura da fronteira nessa posição. Essa fronteira é uma reta decrescente que passa por e . A equação dessa reta (altura da sombra em função de ) é:
- Interpretação: em
tem (topo do obelisco), em tem (ponto final da sombra). Para estar totalmente na sombra, toda a altura da pessoa (isto é, até ) deve estar abaixo dessa reta — ou seja, é necessário .
Passo 3
Transformar a condição em uma desigualdade e isolar a distância máxima.
- A condição
vira:
- Isolando
:
- Assim a distância máxima permitida é
Passo 4
Aplicar os números e calcular passo a passo (mostrando raciocínio e pequenas contas).
- Calcular a razão
:
- Subtrair de 1:
- Expressão com os valores:
Passo 5
Uma forma alternativa, intuitiva e equivalente (para fixar a ideia).
- A sombra projetada por um objeto é proporcional à sua altura quando os raios solares têm a mesma inclinação. Assim o comprimento da sombra da pessoa seria
- Para a pessoa ficar totalmente dentro da sombra do obelisco, a extremidade da sombra da pessoa (que fica em
se a pessoa está em ) não pode ultrapassar o fim da sombra do obelisco em . Logo
o que dá a mesma fórmula porque
.