A sombra de uma pessoa que tem 1,80 \mathrm{~m} de altura mede 60 cm . No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m . Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm , a sombra da pessoa passou a medir:

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei exatamente do enunciado):
  • A altura da pessoa é 1,80\\ \mathrm{m}.
  • A sombra da pessoa mede 60\\ \mathrm{cm}.
  • No mesmo momento, a sombra do poste mede 2\\ \mathrm{m}.
  • Mais tarde, a sombra do poste diminui 50\\ \mathrm{cm}.
A pergunta é: qual passa a ser a medida da sombra da pessoa depois que a sombra do poste diminui?

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicando devagar): os raios de sol são (praticamente) paralelos, então a figura formada pela pessoa e sua sombra e a figura formada pelo poste e sua sombra são triângulos semelhantes. Triângulos semelhantes têm seus lados correspondentes na mesma proporção. Assim vale a igualdade de razões entre altura e comprimento da sombra para qualquer objeto vertical sob o mesmo ângulo de iluminação.
Formalmente, se H_{\text{pessoa}} é a altura da pessoa, s_{\text{pessoa}} a sombra da pessoa, H_{\text{poste}} a altura do poste e s_{\text{poste}} a sombra do poste, então:
\frac{H_{\text{pessoa}}}{s_{\text{pessoa}}}=\frac{H_{\text{poste}}}{s_{\text{poste}}}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Aqui cada variável tem o seguinte significado:
  • H_{\text{pessoa}}: altura da pessoa (em metros),
  • s_{\text{pessoa}}: comprimento da sombra da pessoa (em metros),
  • H_{\text{poste}}: altura do poste (em metros),
  • s_{\text{poste}}: comprimento da sombra do poste (em metros).
Antes de aplicar, convém colocar todas as medidas nas mesmas unidades (metros).

Passo 3

Converter unidades e usar os dados iniciais para encontrar a altura do poste (porque precisamos dela depois):
  • A sombra da pessoa 60\\ \mathrm{cm} é 0,60\\ \mathrm{m}. Logo s_{\text{pessoa, inicial}}=0,60\\ \mathrm{m}.
  • A sombra do poste inicialmente é 2\\ \mathrm{m}. Logo s_{\text{poste, inicial}}=2\\ \mathrm{m}.
  • A altura da pessoa é H_{\text{pessoa}}=1,80\\ \mathrm{m}.
Aplicando a proporção:
\frac{H_{\text{pessoa}}}{s_{\text{pessoa, inicial}}}=\frac{H_{\text{poste}}}{s_{\text{poste, inicial}}}.
Isolando H_{\text{poste}}:
H_{\text{poste}}=\frac{H_{\text{pessoa}}}{s_{\text{pessoa, inicial}}}\cdot s_{\text{poste, inicial}}.
Substituindo os números:
H_{\text{poste}}=\frac{1,80}{0,60}\cdot 2.
Calcule passo a passo: \dfrac{1,80}{0,60}=3. Então
H_{\text{poste}}=3\cdot 2=6.
Portanto H_{\text{poste}}=6\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora consideramos o momento posterior: a sombra do poste diminuiu 50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}. Então a nova sombra do poste é
s_{\text{poste, novo}}=2,00-0,50=1,50\\ \mathrm{m}.
Queremos a nova sombra da pessoa s_{\text{pessoa, novo}}. Mantendo a mesma proporção (triângulos semelhantes), usamos:
\frac{H_{\text{pessoa}}}{s_{\text{pessoa, novo}}}=\frac{H_{\text{poste}}}{s_{\text{poste, novo}}}.
Isolando s_{\text{pessoa, novo}}:
s_{\text{pessoa, novo}}=\frac{H_{\text{pessoa}}}{H_{\text{poste}}}\cdot s_{\text{poste, novo}}.
Substituindo valores:
s_{\text{pessoa, novo}}=\frac{1,80}{6}\cdot 1,50.
Calcule: \dfrac{1,80}{6}=0,30. Então
s_{\text{pessoa, novo}}=0,30\cdot 1,50=0,45\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros: 0,45\\ \mathrm{m}=45\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Resumo didático rápido (para a prova): quando o sol muda e as sombras mudam, a razão \dfrac{\text{altura}}{\text{sombra}} permanece a mesma para todos os objetos verticalmente colocados sob o mesmo sol. Use triângulos semelhantes, mantenha unidades iguais e resolva proporções simples. Dá pra fazer tudo com multiplicações e divisões básicas, sem calculadora complexa.

Resposta

45 cm

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