Uni bloco de massa m preso à exıremidade de uma corda oscila segundo um círculo vertical de raio
, apeṭhs, sob a influêrcia da força de gravidade. Detenuine a diferença entre os valores da tração na corda quando o bloco está no topo e na base do percurso. Adrnita que o bloco está sempre se movendo rápido o bastante para que a corda sempre se mantenha tensa.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que um bloco de massa
gira em círculo vertical de raio
, preso a uma corda, e a gente quer achar a diferença entre a tração na corda no fundo e no topo.
Conteúdo: dinâmica do movimento circular + conservação de energia.
O que vamos precisar:
Conteúdo: dinâmica do movimento circular + conservação de energia.
O que vamos precisar:
- Entender como escrever a 2ª lei de Newton no movimento circular (força centrípeta).
- Usar conservação de energia para relacionar as velocidades no topo e no fundo.
Passo 2
Força centrípeta no fundo do círculo (pense assim: no fundo, a aceleração apontando para cima é centrípeta):
Segundo Newton, resultante radial para cima = .
Mas essa resultante é a tração para cima menos o peso para baixo. Logo:
Segundo Newton, resultante radial para cima =
Mas essa resultante é a tração para cima menos o peso para baixo. Logo:
Isolando
Passo 3
No topo do círculo a aceleração centrípeta aponta para baixo. As forças que apontam para baixo lá são o peso
e a tração
. Então:
Isolando
Passo 4
Queremos
. Substituindo:
$$\Delta T = \Bigl(m \tfrac{v_b^2}{R} + mg\Bigr) - \Bigl(m \tfrac{v_t^2}{R} - mg\Bigr)
= m\frac{v_b^2 - v_t^2}{R} + 2,mg.$$
Passo 5
Agora a conservação de energia entre topo e fundo (não tem atrito, só gravidade):
$$E_{fundo} = E_{topo}
;\Rightarrow; \tfrac12 m v_b^2 = \tfrac12 m v_t^2 + mg,(2R)
v_b^2 = v_t^2 + 4gR.$$
Passo 6
Voltando em
:
Resposta
A diferença entre a tração no fundo e no topo é
.