A única força que age sobre um corpo de
enquanto se move no semicixo positivo de um eixo
tem uma componente
, com
em metros.
velocidade do corpo em
e
.
Para que valor positivo de
o corpo tem uma velocidade de
?
Para que valor positivo de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Massa do corpo:
. - Força ao longo do eixo
: , com em metros. - Velocidade conhecida:
. - Queremos encontrar o valor positivo de
tal que .
Essas são todas as informações relevantes do enunciado. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar: teorema trabalho-energia (energia cinética). Vou explicar devagarinho.
- O teorema trabalho-energia diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pela força resultante ao deslocar o corpo. Em fórmula:
- A energia cinética de um corpo de massa
e velocidade é
- Como a única força é
e o movimento é ao longo do eixo , o trabalho entre duas posições e é a integral da componente da força na direção do deslocamento:
Vou aplicar exatamente essa ideia: a diferença
será igual ao integral de
de
até
(onde queremos
).
Passo 3
Escrevendo o teorema trabalho-energia para este problema, usando uma variável intermediária
dentro da integral para evitar confusão:
Agora substituímos os valores conhecidos:
,
e queremos
. Antes de substituir numericamente, simplifico o lado esquerdo simbolicamente com
:
Para o caso que buscamos com
,
Passo 4
Agora calculamos o trabalho pela integral da força. A força dada é
. Então
Avalio em
:
Portanto a integral é
Passo 5
Igualamos a variação de energia cinética (já calculada como
) ao trabalho (a integral encontrada):
Passo 6
Elimino frações multiplicando ambos os lados por
:
Coloco tudo em um lado para obter uma equação quadrática padrão:
Passo 7
Resolvo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
Observando que
, obtemos as duas raízes
Como o enunciado pede o valor positivo de
, escolhemos
.
Passo 8
Pequena checagem física (rápida): faz sentido que haja uma posição maior que
onde a velocidade caiu de
para
m/s, pois a força tem termo
dominante que tende a fazer trabalho negativo ao avançar para maiores
. A solução positiva
é coerente.