A única força que age sobre um corpo de 2,0 \mathrm{~kg} enquanto se move no semicixo positivo de um eixo x tem uma componente F_{x}=(-5 x+2) \mathrm{N}, com x em metros. \&Lambda velocidade do corpo em x=3,0 \mathrm{~m} e 7,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Para que valor positivo de x o corpo tem uma velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa do corpo: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Força ao longo do eixo x: F_x = (-5x+2)\\ \mathrm{N}, com x em metros.
  • Velocidade conhecida: v( x=3{,}0\\ \mathrm{m} ) = 7{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Queremos encontrar o valor positivo de x tal que v(x)=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Essas são todas as informações relevantes do enunciado. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: teorema trabalho-energia (energia cinética). Vou explicar devagarinho.
  • O teorema trabalho-energia diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pela força resultante ao deslocar o corpo. Em fórmula:
\Delta K = W_{\text{líquido}}.í
  • A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Como a única força é F_x e o movimento é ao longo do eixo x, o trabalho entre duas posições x_1 e x_2 é a integral da componente da força na direção do deslocamento:
W=\int_{x_1}^{x_2} F_x\,dx.
Vou aplicar exatamente essa ideia: a diferença \tfrac{1}{2}m v(x)^2 - \tfrac{1}{2}m v(3)^2 será igual ao integral de F_x de x=3 até x (onde queremos v=5).

Passo 3

Escrevendo o teorema trabalho-energia para este problema, usando uma variável intermediária x' dentro da integral para evitar confusão:
\tfrac{1}{2}m v(x)^2 - \tfrac{1}{2}m v(3)^2 = \int_{3}^{x} F_x(x')\,dx'.
Agora substituímos os valores conhecidos: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}, v(3)=7{,}0\\ \mathrm{m/s} e queremos v(x)=5{,}0\\ \mathrm{m/s}. Antes de substituir numericamente, simplifico o lado esquerdo simbolicamente com m=2:
\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \big(v(x)^2 - 7^2\big) = v(x)^2 - 49.
Para o caso que buscamos com v(x)=5,
\tfrac{1}{2}m\big(5^2 - 7^2\big) = 25 - 49 = -24.

Passo 4

Agora calculamos o trabalho pela integral da força. A força dada é F_x(x') = -5x' + 2. Então
\int_{3}^{x} (-5x' + 2)\,dx' = \left[-\tfrac{5}{2}{x'}^{2} + 2x'\right]_{3}^{x}.
Avalio em x'\!=\!3:
-\tfrac{5}{2}\cdot 3^{2} + 2\cdot 3 = -\tfrac{5}{2}\cdot 9 + 6 = -\tfrac{45}{2} + \tfrac{12}{2} = -\tfrac{33}{2}.
Portanto a integral é
-\tfrac{5}{2}x^{2} + 2x - \big(-\tfrac{33}{2}\big) = -\tfrac{5}{2}x^{2} + 2x + \tfrac{33}{2}.

Passo 5

Igualamos a variação de energia cinética (já calculada como -24) ao trabalho (a integral encontrada):
-24 = -\tfrac{5}{2}x^{2} + 2x + \tfrac{33}{2}.

Passo 6

Elimino frações multiplicando ambos os lados por 2:
-48 = -5x^{2} + 4x + 33.
Coloco tudo em um lado para obter uma equação quadrática padrão:
0 = 5x^{2} - 4x - 81.

Passo 7

Resolvo a equação quadrática 5x^{2} -4x -81 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4\cdot 5 \cdot (-81)}}{2\cdot 5} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1620}}{10} = \frac{4 \pm \sqrt{1636}}{10}.
Observando que \sqrt{1636} = 2\sqrt{409}\approx 40{,}4475, obtemos as duas raízes
x_{1} \approx \frac{4 + 40{,}4475}{10} \approx 4{,}4447\\ \mathrm{m},
x_{2} \approx \frac{4 - 40{,}4475}{10} \approx -3{,}6447\\ \mathrm{m}.
Como o enunciado pede o valor positivo de x, escolhemos x\approx 4{,}44\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Pequena checagem física (rápida): faz sentido que haja uma posição maior que 3{,}0\\ \mathrm{m} onde a velocidade caiu de 7 para 5 m/s, pois a força tem termo -5x dominante que tende a fazer trabalho negativo ao avançar para maiores x. A solução positiva \approx 4{,}44\\ \mathrm{m} é coerente.

Resposta

\,x\approx 4{,}44\\ \mathrm{m}

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