Questão 4 - Um feixe de luz cilíndrico, com raio a, incide sobre um centro espalhador que absorve sua energia e a irradia em forma de ondas com frentes esféricas. A seção de choque do centro é \sigma=a^{2} \sin ^{2} \theta, onde \theta é o ângulo entre o vetor de onda do feixe e o da frente espalhada. A potência transportada pelo feixe é P=S_{0} \pi a^{2} onde S_{0}=\left|\overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\right|, sendo \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0} o vetor de Poynting do feixe.
(a) Determine a constante I_{0}, na relação de conservação de energia, \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0} \cdot d \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=I_{0} \sigma d \Omega, onde d \overrightarrow{\boldsymbol{A}} é um elemento de área sobre a seção transversal do feixe e d \Omega=\sin \theta d \theta d \varphi é o respectivo ângulo sólido na frente esférica, no sistema com eixo \hat{\boldsymbol{z}} ao longo do vetor de onda do feixe e origem no centro espalhador. (VALOR MÁXIMO: 1.5 pontos)
(b) Calcule P_{\perp} / P, onde P_{\perp} é a potência irradiada perpendicularmente ao feixe. Use o intervalo \pi / 4 \leq \theta \leq 3 \pi / 4 como critério de “perpendicularidade”. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
Passo 1
O enunciado fornece um feixe cilíndrico de raio a que incide num centro espalhador (origem). A seção de choque do centro é dada por \sigma=a^{2}\sin^{2}\theta, em que \theta é o ângulo entre o vetor de onda do feixe e o vetor de onda da frente espalhada. A potência total transportada pelo feixe é P=S_{0}\pi a^{2}, onde S_{0}=\left|\overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\right| é a magnitude do vetor de Poynting do feixe. A relação de conservação de energia dada é
onde d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} é um elemento de área sobre a seção transversal do feixe e d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi é o elemento de ângulo sólido na frente esférica. O eixo \hat{\boldsymbol{z}} está ao longo do vetor de onda do feixe e a origem está no espalhador.
Perguntas que o exercício faz:
Determine a constante I_{0} na relação de conservação de energia.
Calcule a fração P_{\perp}/P, onde P_{\perp} é a potência irradiada no intervalo \pi/4 \le \theta \le 3\pi/4 (critério de “perpendicularidade”).
Dados importantes listados:
\sigma(\theta)=a^{2}\sin^{2}\theta.
P=S_{0}\pi a^{2}.
d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Relação diferencial: \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} = I_{0}\,\sigma\,d\Omega.
Passo 2
Entendendo fisicamente e matematicamente a equação diferencial de conservação: o lado esquerdo \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} representa a potência que incide no pequeno elemento de área dA da seção do feixe (já que \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0} está alinhado com o eixo do feixe, temos \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}}=S_{0}\,dA). O lado direito I_{0}\sigma\,d\Omega representa a potência irradiada pelo espalhador naquela direção infinitesimal do ângulo sólido d\Omega. A constante I_{0} é um fator de proporcionalidade que garante conservação total da energia quando integramos sobre a seção do feixe e sobre todo o ângulo sólido.
Portanto, para encontrar I_{0} vamos integrar ambos os lados: integrar o fluxo incidente sobre toda a seção do feixe e integrar a potência irradiada sobre todo o espaço (ângulo sólido 4\pi). Escrevendo a igualdade de potências totais:
Então precisamos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta\, d\theta.
Passo 5
Cálculo da integral \displaystyle \int \sin^{3}\theta\, d\theta e avaliação entre 0 e \pi. Uma técnica simples é usar a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Fazendo isso,
Agora calcule P_{\perp}, a potência irradiada no intervalo angular \pi/4 \le \theta \le 3\pi/4 (todas as direções em \varphi). A potência irradiada em um elemento de ângulo sólido é dP = I_{0}\,\sigma(\theta)\,d\Omega. Integrando: