Questão 4 - Um feixe de luz cilíndrico, com raio a, incide sobre um centro espalhador que absorve sua energia e a irradia em forma de ondas com frentes esféricas. A seção de choque do centro é \sigma=a^{2} \sin ^{2} \theta, onde \theta é o ângulo entre o vetor de onda do feixe e o da frente espalhada. A potência transportada pelo feixe é P=S_{0} \pi a^{2} onde S_{0}=\left|\overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\right|, sendo \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0} o vetor de Poynting do feixe.
(a) Determine a constante I_{0}, na relação de conservação de energia, \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0} \cdot d \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=I_{0} \sigma d \Omega, onde d \overrightarrow{\boldsymbol{A}} é um elemento de área sobre a seção transversal do feixe e d \Omega=\sin \theta d \theta d \varphi é o respectivo ângulo sólido na frente esférica, no sistema com eixo \hat{\boldsymbol{z}} ao longo do vetor de onda do feixe e origem no centro espalhador. (VALOR MÁXIMO: 1.5 pontos)
(b) Calcule P_{\perp} / P, onde P_{\perp} é a potência irradiada perpendicularmente ao feixe. Use o intervalo \pi / 4 \leq \theta \leq 3 \pi / 4 como critério de “perpendicularidade”. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado fornece um feixe cilíndrico de raio a que incide num centro espalhador (origem). A seção de choque do centro é dada por \sigma=a^{2}\sin^{2}\theta, em que \theta é o ângulo entre o vetor de onda do feixe e o vetor de onda da frente espalhada. A potência total transportada pelo feixe é P=S_{0}\pi a^{2}, onde S_{0}=\left|\overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\right| é a magnitude do vetor de Poynting do feixe. A relação de conservação de energia dada é
\overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} = I_{0}\,\sigma\,d\Omega,
onde d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} é um elemento de área sobre a seção transversal do feixe e d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi é o elemento de ângulo sólido na frente esférica. O eixo \hat{\boldsymbol{z}} está ao longo do vetor de onda do feixe e a origem está no espalhador.
Perguntas que o exercício faz:
  1. Determine a constante I_{0} na relação de conservação de energia.
  2. Calcule a fração P_{\perp}/P, onde P_{\perp} é a potência irradiada no intervalo \pi/4 \le \theta \le 3\pi/4 (critério de “perpendicularidade”).
Dados importantes listados:
  • \sigma(\theta)=a^{2}\sin^{2}\theta.
  • P=S_{0}\pi a^{2}.
  • d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • Relação diferencial: \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} = I_{0}\,\sigma\,d\Omega.

Passo 2

Entendendo fisicamente e matematicamente a equação diferencial de conservação: o lado esquerdo \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}} representa a potência que incide no pequeno elemento de área dA da seção do feixe (já que \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0} está alinhado com o eixo do feixe, temos \overrightarrow{\boldsymbol{S}}_{0}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{A}}=S_{0}\,dA). O lado direito I_{0}\sigma\,d\Omega representa a potência irradiada pelo espalhador naquela direção infinitesimal do ângulo sólido d\Omega. A constante I_{0} é um fator de proporcionalidade que garante conservação total da energia quando integramos sobre a seção do feixe e sobre todo o ângulo sólido.
Portanto, para encontrar I_{0} vamos integrar ambos os lados: integrar o fluxo incidente sobre toda a seção do feixe e integrar a potência irradiada sobre todo o espaço (ângulo sólido 4\pi). Escrevendo a igualdade de potências totais:
\int_{\text{seção}} S_{0}\,dA \;=\; \int_{4\pi} I_{0}\,\sigma(\theta)\,d\Omega.çã

Passo 3

Calcule o lado esquerdo (potência do feixe) explicitamente: como dado no enunciado,
\int_{\text{seção}} S_{0}\,dA = S_{0}\cdot (\text{área da seção}) = S_{0}\cdot \pi a^{2} = P.çãáçã
Logo a igualdade fica
P \;=\; I_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \sigma(\theta)\, \sin\theta\, d\theta\, d\varphi.

Passo 4

Agora calcule a integral do lado direito usando \sigma(\theta)=a^{2}\sin^{2}\theta. Substituindo,
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \sigma(\theta)\, \sin\theta\, d\theta\, d\varphi = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} a^{2}\sin^{2}\theta \,\sin\theta\, d\theta = 2\pi a^{2} \int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta\, d\theta.
Então precisamos calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta\, d\theta.

Passo 5

Cálculo da integral \displaystyle \int \sin^{3}\theta\, d\theta e avaliação entre 0 e \pi. Uma técnica simples é usar a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Fazendo isso,
\int \sin^{3}\theta\, d\theta = \int \sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta = -\int (1-u^{2})\,du = -\Big(u - \frac{u^{3}}{3}\Big) + C = -\cos\theta + \frac{\cos^{3}\theta}{3} + C.
Avaliando de 0 até \pi:
\int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta\, d\theta = \Big[-\cos\theta + \frac{\cos^{3}\theta}{3}\Big]_{0}^{\pi} = \big(-\cos\pi + \frac{\cos^{3}\pi}{3}\big) - \big(-\cos 0 + \frac{\cos^{3}0}{3}\big).
Sabendo \cos 0 = 1 e \cos\pi = -1, obtemos
\int_{0}^{\pi} \sin^{3}\theta\, d\theta = \big(-(-1) + \frac{(-1)^{3}}{3}\big) - \big(-1 + \frac{1}{3}\big) = \big(1 - \frac{1}{3}\big) - \big(-1 + \frac{1}{3}\big) = \frac{2}{3} - \big(-\frac{2}{3}\big) = \frac{4}{3}.

Passo 6

Retornando à integral do Passo 4:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \sigma(\theta)\, \sin\theta\, d\theta\, d\varphi = 2\pi a^{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8\pi a^{2}}{3}.
Assim a igualdade de potências do Passo 3 dá
P = I_{0}\cdot \frac{8\pi a^{2}}{3}.
Resolvendo para I_{0},
I_{0} = \frac{3P}{8\pi a^{2}}.
Usando P=S_{0}\pi a^{2} (dado), substituímos:
I_{0} = \frac{3(S_{0}\pi a^{2})}{8\pi a^{2}} = \frac{3S_{0}}{8}.
Portanto \displaystyle I_{0}=\frac{3}{8}S_{0}.

Passo 7

Agora calcule P_{\perp}, a potência irradiada no intervalo angular \pi/4 \le \theta \le 3\pi/4 (todas as direções em \varphi). A potência irradiada em um elemento de ângulo sólido é dP = I_{0}\,\sigma(\theta)\,d\Omega. Integrando:
P_{\perp} = I_{0}\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{3\pi/4} a^{2}\sin^{2}\theta \,\sin\theta\, d\theta\, d\varphi = I_{0}\,2\pi a^{2} \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^{3}\theta\, d\theta.
Chamemos
J \equiv \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^{3}\theta\, d\theta.
Usamos a antiderivada do Passo 5: \displaystyle \int \sin^{3}\theta\, d\theta = -\cos\theta + \frac{\cos^{3}\theta}{3}. Logo
J = \Big[-\cos\theta + \frac{\cos^{3}\theta}{3}\Big]_{\pi/4}^{3\pi/4}.
Calcule \cos(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \cos(3\pi/4)=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Chamando c=\frac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
J = \Big(-(-c) + \frac{(-c)^{3}}{3}\Big) - \Big(-c + \frac{c^{3}}{3}\Big) = \big(c - \tfrac{c^{3}}{3}\big) - \big(-c + \tfrac{c^{3}}{3}\big) = 2c - \tfrac{2c^{3}}{3}.
Como c^{2}=\tfrac{1}{2}, temos c^{3}=c\cdot c^{2}=c/2. Assim
J = 2c - \frac{2}{3}\cdot\frac{c}{2} = 2c - \frac{c}{3} = \frac{5c}{3}.
Substituindo c=\frac{\sqrt{2}}{2},
J = \frac{5}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{6}.

Passo 8

Usando o valor de J em P_{\perp}:
P_{\perp} = I_{0}\,2\pi a^{2}\,J.
A razão pedida é
\frac{P_{\perp}}{P} = \frac{I_{0}\,2\pi a^{2}\,J}{P}.
Mas do Passo 6 temos P = I_{0}\cdot \dfrac{8\pi a^{2}}{3}. Cancelando I_{0}, \pi e a^{2},
\frac{P_{\perp}}{P} = \frac{2\pi a^{2}\,J}{\dfrac{8\pi a^{2}}{3}} = \frac{2J}{8/3} = \frac{3J}{4}.
Substituindo J=\dfrac{5\sqrt{2}}{6},
\frac{P_{\perp}}{P} = \frac{3}{4}\cdot \frac{5\sqrt{2}}{6} = \frac{15\sqrt{2}}{24} = \frac{5\sqrt{2}}{8}.

Resposta

I_{0}=\dfrac{3}{8}S_{0}
\displaystyle \frac{P_{\perp}}{P}=\frac{5\sqrt{2}}{8}

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