Uma única força age sobre um objeto de
que se comporta como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por
, com
em metros e
em segundos. Determine o trabalho realizado pela força sobre o objeto de
a
.
(Dica: Se
é a única força, ela é a resultante e a
ă lei poderá ser usada, onde
. Você verá que a resultante não será constante e será necessário usar a fórmula
, onde
.)
(Dica: Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um objeto de 3,0 kg que se move de acordo com a posição dada pela função $ x(t) = 3,0, t - 4,0, t^{2} + 1,0, t^{3} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Queremos descobrir o trabalho realizado pela força que age sobre esse objeto no intervalo de tempo de 0 a 4,0 segundos. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e a fórmula do trabalho como a integral da força ao longo do deslocamento.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade do objeto. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Então, a velocidade é $ v(t) = 3,0 - 8,0, t + 3,0, t^{2} $ metros por segundo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo:
Portanto, a aceleração é $ a(t) = -8,0 + 6,0, t $ metros por segundo ao quadrado.
Passo 4
Com a aceleração, podemos encontrar a força que está agindo sobre o objeto usando a segunda lei de Newton $ F = m \cdot a $:
Então, a força é $ F(t) = -24,0 + 18,0, t $ newtons.
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo de 0 a 4,0 segundos. A fórmula do trabalho é a integral da força multiplicada pela velocidade em relação ao tempo:
Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
Simplificando:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo $ t = 4,0 $:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Resposta
O trabalho realizado pela força sobre o objeto de $ t = 0 $ a $ t = 4,0 $ segundos é 707,2 J.