Uma única força age sobre um objeto de 3,0 kg que se comporta como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por x =3,0 t-4,0 t^2+1,0 t^3, com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado pela força sobre o objeto de t=0 a t=4,0 s.
(Dica: Se F é a única força, ela é a resultante e a ^2 ă lei poderá ser usada, onde a=d^2 xd t^2. Você verá que a resultante não será constante e será necessário usar a fórmula WF=integrali^f F(t) d x= integrali^f F(t) v d t, onde v=d xd t.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um objeto de 3,0 kg que se move de acordo com a posição dada pela função $ x(t) = 3,0, t - 4,0, t^{2} + 1,0, t^{3} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Queremos descobrir o trabalho realizado pela força que age sobre esse objeto no intervalo de tempo de 0 a 4,0 segundos. Para isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e a fórmula do trabalho como a integral da força ao longo do deslocamento.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade do objeto. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = ddt(3,0, t - 4,0, t^2 + 1,0, t^3) = 3,0 - 8,0, t + 3,0, t^2
Então, a velocidade é $ v(t) = 3,0 - 8,0, t + 3,0, t^{2} $ metros por segundo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = ddt(3,0 - 8,0, t + 3,0, t^2) = -8,0 + 6,0, t
Portanto, a aceleração é $ a(t) = -8,0 + 6,0, t $ metros por segundo ao quadrado.

Passo 4

Com a aceleração, podemos encontrar a força que está agindo sobre o objeto usando a segunda lei de Newton $ F = m \cdot a $:
F = m cdot a
Então, a força é $ F(t) = -24,0 + 18,0, t $ newtons.

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo de 0 a 4,0 segundos. A fórmula do trabalho é a integral da força multiplicada pela velocidade em relação ao tempo:
W = integral0^4,0 F(t) cdot v(t), dt = integral0^4,0 (-24,0 + 18,0, t) cdot (3,0 - 8,0, t + 3,0, t^2), dt
Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
(-24,0 + 18,0, t)(3,0 - 8,0, t + 3,0, t^2) = -72,0 + 192,0, t - 72,0, t^2 + 54,0, t^2 - 144,0, t^3 + 54,0, t^4
Simplificando:
-72,0 + 192,0, t - 18,0, t^2 - 144,0, t^3 + 54,0, t^4
Agora, vamos integrar termo a termo:
W = integral0^4,0 (-72,0 + 192,0, t - 18,0, t^2 - 144,0, t^3 + 54,0, t^4), dt
W = [ -72,0, t + 96,0, t^2 - 6,0, t^3 - 36,0, t^4 + 10,8, t^5 ]0^4,0
Substituindo $ t = 4,0 $:
t = 4,0
Calculando cada termo:
W = (-72,0 cdot 4,0) + (96,0 cdot 16,0) - (6,0 cdot 64,0) - (36,0 cdot 256,0) + (10,8 cdot 1024,0)
Somando todos:
W = -288,0 + 1536,0 - 384,0 - 9216,0 + 11059,2

Resposta

O trabalho realizado pela força sobre o objeto de $ t = 0 $ a $ t = 4,0 $ segundos é 707,2 J.

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