Identifique a cônica dada pela equação 9 x^{2}-24 x y+16 y^{2}-34 x-38 y+51=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos que tipo de cônica é dada pela equação
9x^{2}-24xy+16y^{2}-34x-38y+51=0.
O conteúdo que vamos usar é a classificação de cônicas pelo discriminante \Delta = B^{2} - 4AC, onde A, B e C são os coeficientes dos termos quadráticos.

Passo 2

Extraímos os coeficientes da forma geral
Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0:
A = 9,\quad B = -24,\quad C = 16,\quad D = -34,\quad E = -38,\quad F = 51.

Passo 3

Calculamos o discriminante das partes quadráticas:
\Delta = B^{2} - 4AC
\Delta = (-24)^{2} - 4\cdot9\cdot16 = 576 - 576 = 0.

Passo 4

Como \Delta = 0, a cônica é uma parábola (caso \Delta >0 seria hipérbole e \Delta<0 seria elipse). Aqui temos ainda B\neq0, o que indica que é uma parábola rotacionada em relação aos eixos.

Resposta

A cônica é uma parábola (rotacionada).

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