(Unicamp) Atualmente, em substituição à escala Richter, a escala de magnitude e momento, denotada por
, é a utilizada para estimar a magnitude de todos os grandes terremotos. Para calcular
, é necessário conhecer o valor do momento sísmico,
, o qual é estimado a partir de registros de sismógrafos. O valor de
se relaciona com o valor de
pela fórmula
.
Qual é o menor valor de
para o qual
? Justifique.
Qual é o menor valor de
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre a magnitude de momento e o momento sísmico:
A pergunta é: “Qual é o menor valor de
para o qual
?”\n
Observações importantes que vou usar (peguei isso do enunciado e de convenções padrão):
Observações importantes que vou usar (peguei isso do enunciado e de convenções padrão):
- O símbolo
aqui é o logaritmo na base 10 (convenção usual em escalas de magnitude sísmica). - Procuro o menor
que satisfaça a desigualdade .
Passo 2
Converter a condição
em uma desigualdade envolvendo
. Substituindo a fórmula e isolando o termo com logaritmo:
Somando
em ambos os lados:
Agora multiplica-se ambos os lados por
. Como
é positivo, a direção da desigualdade não muda:
Calcule o produto:
Portanto:
Passo 3
Agora passo da forma logarítmica para a forma exponencial. Como
é base
, a desigualdade
equivale a:
Isso vem da propriedade: para base
,
, pois a função
é crescente.
Passo 4
Dar uma forma numérica mais familiar ao resultado. Escreve-se
Calcula-se
. Usando
e
, tem-se
e assim
Portanto