(Unicamp) Atualmente, em substituição à escala Richter, a escala de magnitude e momento, denotada por \mathrm{M}_{\mathrm{w}}, é a utilizada para estimar a magnitude de todos os grandes terremotos. Para calcular \mathrm{M}_{\mathrm{w}}, é necessário conhecer o valor do momento sísmico, \mathrm{M}_{0}, o qual é estimado a partir de registros de sismógrafos. O valor de \mathrm{M}_{\mathrm{w}} se relaciona com o valor de M_{0} pela fórmula M_{w}=-10,7+\frac{2}{3} \log M_{0}.
Qual é o menor valor de M_{0} para o qual M_{w} \geq 0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre a magnitude de momento e o momento sísmico:
M_{w} = -10{,}7 + \frac{2}{3}\log M_{0}.
A pergunta é: “Qual é o menor valor de M_{0} para o qual M_{w}\ge 0?”\n
Observações importantes que vou usar (peguei isso do enunciado e de convenções padrão):
  • O símbolo \log aqui é o logaritmo na base 10 (convenção usual em escalas de magnitude sísmica).
  • Procuro o menor M_{0} que satisfaça a desigualdade M_{w}\ge 0.

Passo 2

Converter a condição M_{w}\ge 0 em uma desigualdade envolvendo \log M_{0}. Substituindo a fórmula e isolando o termo com logaritmo:
-10{,}7 + \frac{2}{3}\log M_{0} \ge 0.
Somando 10{,}7 em ambos os lados:
\frac{2}{3}\log M_{0} \ge 10{,}7.
Agora multiplica-se ambos os lados por \tfrac{3}{2}. Como \tfrac{3}{2} é positivo, a direção da desigualdade não muda:
\log M_{0} \ge \frac{3}{2}\cdot 10{,}7.
Calcule o produto:
\frac{3}{2}\cdot 10{,}7 = 1{,}5\times 10{,}7 = 16{,}05.
Portanto:
\log M_{0} \ge 16{,}05.

Passo 3

Agora passo da forma logarítmica para a forma exponencial. Como \log é base 10, a desigualdade \log M_{0}\ge 16{,}05 equivale a:
M_{0} \ge 10^{16{,}05}.
Isso vem da propriedade: para base 10, \log x \ge a \iff x \ge 10^{a}, pois a função 10^{x} é crescente.

Passo 4

Dar uma forma numérica mais familiar ao resultado. Escreve-se
10^{16{,}05}=10^{16}\cdot 10^{0{,}05}.
Calcula-se 10^{0{,}05}. Usando 10^{0{,}05}=e^{0{,}05\ln 10} e \ln 10\approx 2{,}302585, tem-se 0{,}05\ln 10\approx 0{,}115129 e assim
10^{0{,}05}\approx e^{0{,}115129}\approx 1{,}122.
Portanto
M_{0}\ge 10^{16{,}05}\approx 1{,}122\times 10^{16}.

Resposta

M_{0}=10^{16{,}05}\approx 1{,}122\times10^{16} (unidades de momento sísmico).

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