(Unicamp-SP) Um pêndulo cônico é formado por um fio de
massa desprezível e comprimento L = 1,25 m, que suporta
uma massa m = 0,5 kg na sua extremidade inferior. A extre-
midade superior do fio é presa ao teto, conforme ilustra a fi-
gura a seguir. Quando o pêndulo oscila, a massa m executa
um movimento circular uniforme num plano horizontal, e o
ângulo que o fio forma com a vertical é o = 60°.
a)Qual é a tensão no fio?
b)Qual é a velocidade angular da massa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo cônico, que é basicamente uma massa presa a um fio girando em círculo. Aqui, temos que calcular duas coisas: a tensão no fio e a velocidade angular da massa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e equilíbrio de forças em movimentos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão agindo no fio. Temos a força gravitacional que puxa a massa para baixo, e a tensão no fio que tem duas componentes: uma vertical que equilibra a gravidade e uma horizontal que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de forças. A tensão $ T $ tem uma componente vertical $ T \cos(\theta) $ equilibrando o peso da massa $ mg $, e uma componente horizontal $ T \sin(\theta) $ que é a força centrípeta $ F_c $. Então, podemos escrever:
T
T cos(theta)

Passo 4

A força centrípeta $ F_c $ é necessária para manter a massa em movimento circular, e é dada por:
Fc
onde $ \omega $ é a velocidade angular e $ r $ é o raio da trajetória circular.

Passo 5

Vamos relacionar o raio $ r $ com o comprimento do fio $ L $ e o ângulo $ \theta $. Usando trigonometria, temos:
r
Substituindo os valores:
L

Passo 6

Agora, vamos encontrar a tensão $ T $. Da equação $ T \cos(\theta) = mg $:
T
Substituindo os valores:
T cos(theta) = mg ²

Passo 7

Para encontrar a velocidade angular $ \omega $, vamos usar a relação da força centrípeta:
omega
Substituindo $ T $ e $ r $:
T sin(theta) = m omega^2 r
T
r
9,81 times sin(60°) = 0,5 times omega^2 times 1,082

Resposta

a) A tensão no fio é aproximadamente $ 9,81 , N $.
b) A velocidade angular da massa é aproximadamente $ 3,96 , rad/s $.

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