O que o problema pede é encontrar os valores de (x,y,z,w) que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente. As informações relevantes são exatamente as quatro equações acima.]
Passo 2
Vamos escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,, que facilita ver padrões e usar ferramentas de álgebra linear. Definimos
Observe um padrão na matriz A: todos os elementos fora da diagonal são 1 e os elementos da diagonal são 2. Podemos decompor A como soma da identidade I com a matriz J cujas entradas são todas 1. Ou seja,
Queremos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=(I+J)^{-1}\mathbf{b}. Existe uma identidade muito prática (caso J=\mathbf{u}\mathbf{u}^T) conhecida como fórmula de Sherman–Morrison para a inversa de I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T. Ela diz que
Explicando levemente por que isso funciona: multiplica-se o lado direito por I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T e verifica-se que o produto dá I (é só algebra direta), por isso é a inversa. Aqui temos \mathbf{u}^T\mathbf{u}=4, então
Precisamos calcular J\mathbf{b}. Lembre que J multiplica qualquer vetor somando todas as componentes e repetindo o resultado em cada entrada, porque J=\mathbf{u}\mathbf{u}^T. Assim