(Unicamp-SP) Resolva o seguinte sistema linear:
\{2 x+y+z+w=1 x+2 y+w+z=2 x+y+2 z+w=3 x+y+z+2 w=4

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear abaixo (cada equação escrita em linha separada):
\begin{cases} 2x+y+z+w=1\\[4pt] x+2y+z+w=2\\[4pt] x+y+2z+w=3\\[4pt] x+y+z+2w=4 \end{cases}
O que o problema pede é encontrar os valores de (x,y,z,w) que satisfazem todas as quatro equações simultaneamente. As informações relevantes são exatamente as quatro equações acima.]

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,, que facilita ver padrões e usar ferramentas de álgebra linear. Definimos
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]w\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix}
e a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2&1&1&1\\[4pt] 1&2&1&1\\[4pt] 1&1&2&1\\[4pt] 1&1&1&2 \end{pmatrix}.
A tarefa é resolver \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,.]

Passo 3

Observe um padrão na matriz A: todos os elementos fora da diagonal são 1 e os elementos da diagonal são 2. Podemos decompor A como soma da identidade I com a matriz J cujas entradas são todas 1. Ou seja,
A = I + J,
onde
I=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\[4pt]0&1&0&0\\[4pt]0&0&1&0\\[4pt]0&0&0&1\end{pmatrix}, \qquad J=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\[4pt]1&1&1&1\\[4pt]1&1&1&1\\[4pt]1&1&1&1\end{pmatrix}.
Outra forma útil de ver J é como produto externo de um vetor coluna de uns com ele mesmo. Defina
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então J=\mathbf{u}\mathbf{u}^T. Note também que
\mathbf{u}^T\mathbf{u}=1+1+1+1=4.]

Passo 4

Queremos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=(I+J)^{-1}\mathbf{b}. Existe uma identidade muito prática (caso J=\mathbf{u}\mathbf{u}^T) conhecida como fórmula de Sherman–Morrison para a inversa de I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T. Ela diz que
\bigl(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T\bigr)^{-1}=I-\frac{\mathbf{u}\mathbf{u}^T}{1+\mathbf{u}^T\mathbf{u}}.
Explicando levemente por que isso funciona: multiplica-se o lado direito por I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T e verifica-se que o produto dá I (é só algebra direta), por isso é a inversa. Aqui temos \mathbf{u}^T\mathbf{u}=4, então
\bigl(I+J\bigr)^{-1}=\bigl(I+\mathbf{u}\mathbf{u}^T\bigr)^{-1}=I-\frac{\mathbf{u}\mathbf{u}^T}{1+4}=I-\frac{1}{5}\,J.

Passo 5

Agora aplicamos essa inversa ao vetor \mathbf{b}:
\mathbf{x}=(I-\tfrac{1}{5}J)\mathbf{b}=\mathbf{b}-\tfrac{1}{5}J\mathbf{b}.
Precisamos calcular J\mathbf{b}. Lembre que J multiplica qualquer vetor somando todas as componentes e repetindo o resultado em cada entrada, porque J=\mathbf{u}\mathbf{u}^T. Assim
J\mathbf{b}=(\mathbf{u}\mathbf{u}^T)\mathbf{b}=\mathbf{u}(\mathbf{u}^T\mathbf{b}).
Compute \mathbf{u}^T\mathbf{b}=1+2+3+4=10. Logo
J\mathbf{b}=10\,\mathbf{u}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]10\\[4pt]10\\[4pt]10\end{pmatrix}.
Então
\tfrac{1}{5}J\mathbf{b}=2\,\mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Subtraindo de \mathbf{b} obtemos \mathbf{x}:
\mathbf{x}=\mathbf{b}-2\mathbf{u}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Portanto x=-1, y=0, z=1, w=2.]

Passo 7

Para ter certeza, vamos checar rapidamente cada equação substituindo os valores (checar é sempre uma boa prática na prova).
Primeira equação:
2x+y+z+w=2(-1)+0+1+2=-2+3=1.
Segunda:
x+2y+z+w=(-1)+2\cdot0+1+2=2.
Terceira:
x+y+2z+w=(-1)+0+2\cdot1+2=3.
Quarta:
x+y+z+2w=(-1)+0+1+2\cdot2=4.
Todas batem com os lados direitos dados, portanto a solução está correta.

Resposta

x=-1
y=0
z=1
w=2

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