Um único indivíduo infectado entra em contato com uma comunidade de 500 indivíduos suscetíveis à doença. A doença se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número de pessoas infectadas pelo número de pessoas suscetíveis que ainda não foram infectadas.
tempo que a doença leva para infectar
indivíduos é dado pela função abaixo, onde t é o tempo em horas.
Determine o número de pessoas infectadas após 100 horas. R:
Determine o número de pessoas infectadas após 100 horas. R:
Passo 1
Vamos resumir: um indivíduo infectado entra em contato com 500 suscetíveis e a taxa de infecção é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de suscetíveis. O enunciado dá a relação
Precisamos achar o número de pessoas infectadas (contando o original) após 100 horas.
Passo 2
Para resolver essa integral, fazemos decomposição em frações parciais:
Igualando numeradores vem
Tomando
dá
, e
dá
. Portanto
Passo 3
Agora integramos:
Multiplicando por 5010, obtemos
Passo 4
Usamos a condição inicial
quando
para achar
:
Logo
$$t = 10\Bigl(\ln\frac{x+1}{500 - x} + \ln 500\Bigr)
= 10\ln\frac{500(x+1)}{500 - x}.
$$
Passo 5
Finalmente, para
horas temos
. Substituindo,
$$x(100) \approx \frac{500(22026.5 - 1)}{22026.5 + 500} \approx 488.9.
$$
Esse conta os infectados a mais além do original, então o total de infectados é
. Arredondando, fica cerca de 490 pessoas.
Esse
Resposta
Cerca de
pessoas infectadas após 100 horas.