Um único indivíduo infectado entra em contato com uma comunidade de 500 indivíduos suscetíveis à doença. A doença se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número de pessoas infectadas pelo número de pessoas suscetíveis que ainda não foram infectadas. O tempo que a doença leva para infectar x indivíduos é dado pela função abaixo, onde t é o tempo em horas.
t=5010 cdot integral 1(x+1) cdot(500-x) cdot dx
Determine o número de pessoas infectadas após 100 horas. R:

Passo 1

Vamos resumir: um indivíduo infectado entra em contato com 500 suscetíveis e a taxa de infecção é proporcional ao produto do número de infectados pelo número de suscetíveis. O enunciado dá a relação
t = 5010 integral dx(x+1)(500 - x)
Precisamos achar o número de pessoas infectadas (contando o original) após 100 horas.

Passo 2

Para resolver essa integral, fazemos decomposição em frações parciais:
1(x+1)(500 - x) = Ax+1 + B500 - x
Igualando numeradores vem
A(500 - x) + B(x+1) = 1
Tomando x=-1 A=1/501, e x=500 B=1/501. Portanto
1(x+1)(500 - x) = 1501l(1x+1 + 1500 - xr)

Passo 3

Agora integramos:
integral 1(x+1)(500 - x),dx = 1501integral l(1x+1 + 1500 - xr)dx = 1501l(ln|x+1| - ln|500 - x|r) + C
Multiplicando por 5010, obtemos
t = 10lnx+1500 - x + C'

Passo 4

Usamos a condição inicial t=0 quando x=0 para achar C':
0 = 10ln1500 + C' implies C' = 10ln 500
Logo
$$t = 10\Bigl(\ln\frac{x+1}{500 - x} + \ln 500\Bigr)
= 10\ln\frac{500(x+1)}{500 - x}.
t = 10l(lnx+1500 - x + ln 500r) = 10ln500(x+1)500 - x çãe^{t/10} = \frac{500(x+1)}{500 - x} \implies (500 - x)e^{t/10} = 500(x+1).
xx = \frac{500\bigl(e^{t/10} - 1\bigr)}{e^{t/10} + 500}.
$$

Passo 5

Finalmente, para t=100 horas temos e^100/10 = e^10approx 22026.5. Substituindo,
$$x(100) \approx \frac{500(22026.5 - 1)}{22026.5 + 500} \approx 488.9.
$$
Esse x(100) approx 500(22026.5 - 1)22026.5 + 500 approx 488.9 conta os infectados a mais além do original, então o total de infectados é x. Arredondando, fica cerca de 490 pessoas.

Resposta

Cerca de 490 pessoas infectadas após 100 horas.

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