Um guarda-florestal, que estuda os efeitos da fertilização em certas florestas de pino numa região, esta interessado em estimar a média da área da base dos pinos. Ao estudar áreas das bases similares descobriu que tais mensuras (em centímetros quadrados) estão distribuidas normalmente. Se o guarda-florestal toma uma amostra de 30 arvores, obtendo uma média de 9510 , e desvio padrão de 115 \mathrm{~cm}^{2}. (3 pts) (Identifique o parâmetro e a variável fulcral).
Encontre um intervalo de confiança de 95 \% para área média da base, supondo o desvio padrão populacional de 120 \mathrm{~cm}^{2} (conhecido),

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede um intervalo de confiança de 95\% para a área média da base dos pinos, supondo o desvio padrão populacional conhecido.
Dados fornecidos:
\;n=30 (tamanho da amostra)
\;\bar{x}=9510 (média amostral, em \mathrm{cm}^2)
\;\sigma=120\\ \mathrm{cm}^2 (desvio padrão populacional, conhecido)
A informação adicional: as mensuras seguem uma distribuição normal.
Questão pedida:
Encontre um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional da área da base dos pinos.
Identificações pedidas:
Parâmetro: a média populacional \mu.
Variável fulcral (estatística usada): a média amostral \bar{X}.

Passo 2

Entendendo por que podemos usar a fórmula clássica: quando a população é normalmente distribuída e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, a distribuição da média amostral \bar{X} é normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Isso nos permite construir um intervalo de confiança usando a distribuição normal padronizada (z).
Explicação didática rápida: se X_1,\dots,X_n são i.i.d. normais com média \mu e desvio padrão \sigma, então
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma^2}{n}\right),
ou seja, o desvio padrão da média é \sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Esse valor é chamado erro padrão da média e mede a variabilidade da média amostral entre amostras.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança quando \sigma é conhecido: para nível de confiança 1-\alpha usamos
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
\bar{x} = média observada na amostra (estatística).
z_{\alpha/2} = valor crítico da distribuição normal padrão tal que a área central é 1-\alpha (por exemplo, para 95\% temos \alpha=0,05).
\sigma = desvio padrão populacional conhecido.
n = tamanho da amostra.
\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = erro padrão da média (desvio padrão de \bar{X}).
Para um nível de confiança de 95\% temos \alpha=0,05 e
\;z_{\alpha/2}=z_{0,025}=1,96.
Observação didática: o valor 1,96 é o quantil da normal padrão que deixa 2,5\% de probabilidade em cada cauda quando queremos uma área central de 95\%.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\sqrt{30}\approx 5,4772
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{120}{\sqrt{30}}\approx 21,909
Explicando: primeiro tiramos a raiz de n, depois dividimos \sigma por esse valor para obter a variabilidade típica da média amostral.

Passo 5

Calcular a margem de erro (meia largura do intervalo):
\text{margem}=z_{0,025}\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\times21,909\approx 42,915
Explicando: multiplicamos o erro padrão pelo quantil z correspondente ao nível de confiança desejado; o resultado é quanto somar/subtrair à média amostral para obter os limites do intervalo.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=9510-42,915=9467,085
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=9510+42,915=9552,915
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) para apresentação:
(9467,09\\ \mathrm{cm}^2,\;9552,91\\ \mathrm{cm}^2).

Passo 7

Interpretação didática do resultado: dizer que o intervalo de confiança de 95\% para \mu é (9467,09\\ \mathrm{cm}^2,\;9552,91\\ \mathrm{cm}^2) significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo tipo a partir de cada amostra, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu. Não significa que haja 95\% de probabilidade para \mu estar nesse intervalo numa única amostra — \mu é fixo; o que é aleatório é o intervalo construído a partir da amostra.

Resposta

(9467,09\\ \mathrm{cm}^2,\;9552,91\\ \mathrm{cm}^2)

Exercícios relacionados