Um guarda-florestal, que estuda os efeitos da fertilização em certas florestas de pino numa região, esta interessado em estimar a média da área da base dos pinos. Ao estudar áreas das bases similares descobriu que tais mensuras (em centímetros quadrados) estão distribuidas normalmente. Se o guarda-florestal toma uma amostra de 30 arvores, obtendo uma média de 9510 , e desvio padrão de
. (3 pts) (Identifique o parâmetro e a variável fulcral).
Encontre um intervalo de confiança de
para área média da base, supondo o desvio padrão populacional de
(conhecido),
Encontre um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede um intervalo de confiança de
para a área média da base dos pinos, supondo o desvio padrão populacional conhecido.
Dados fornecidos:
(tamanho da amostra)
(média amostral, em
)
(desvio padrão populacional, conhecido)
A informação adicional: as mensuras seguem uma distribuição normal.
A informação adicional: as mensuras seguem uma distribuição normal.
Questão pedida:
Encontre um intervalo de confiança de para a média populacional da área da base dos pinos.
Encontre um intervalo de confiança de
Identificações pedidas:
Parâmetro: a média populacional .
Variável fulcral (estatística usada): a média amostral .
Parâmetro: a média populacional
Variável fulcral (estatística usada): a média amostral
Passo 2
Entendendo por que podemos usar a fórmula clássica: quando a população é normalmente distribuída e o desvio padrão populacional
é conhecido, a distribuição da média amostral
é normal com média
e desvio padrão
. Isso nos permite construir um intervalo de confiança usando a distribuição normal padronizada (z).
Explicação didática rápida: se
são i.i.d. normais com média
e desvio padrão
, então
ou seja, o desvio padrão da média é
. Esse valor é chamado erro padrão da média e mede a variabilidade da média amostral entre amostras.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança quando
é conhecido: para nível de confiança
usamos
Explicando cada símbolo:
= média observada na amostra (estatística).
= valor crítico da distribuição normal padrão tal que a área central é
(por exemplo, para
temos
).
= desvio padrão populacional conhecido.
= tamanho da amostra.
= erro padrão da média (desvio padrão de
).
Para um nível de confiança de
temos
e
.
Observação didática: o valor é o quantil da normal padrão que deixa
de probabilidade em cada cauda quando queremos uma área central de
.
Observação didática: o valor
Passo 4
Calcular o erro padrão da média:
Explicando: primeiro tiramos a raiz de
, depois dividimos
por esse valor para obter a variabilidade típica da média amostral.
Passo 5
Calcular a margem de erro (meia largura do intervalo):
Explicando: multiplicamos o erro padrão pelo quantil
correspondente ao nível de confiança desejado; o resultado é quanto somar/subtrair à média amostral para obter os limites do intervalo.
Passo 6
Calcular os limites do intervalo:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) para apresentação:
Passo 7
Interpretação didática do resultado: dizer que o intervalo de confiança de
para
é
significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo tipo a partir de cada amostra, aproximadamente
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional
. Não significa que haja
de probabilidade para
estar nesse intervalo numa única amostra —
é fixo; o que é aleatório é o intervalo construído a partir da amostra.