Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para estimar a vorticidade em um ponto?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o número mínimo de medidas de velocidade necessárias para estimar a vorticidade em um ponto.
Informações dadas / suposições implícitas que vamos usar:
  • Podemos medir o campo de velocidade vetorial \vec{u}=(u,v) em pontos próximos ao ponto onde queremos a vorticidade.
  • A vorticidade em 2D é uma quantidade local que depende de derivadas espaciais dos componentes de velocidade (isto aparece na figura com linhas de corrente concêntricas e setas de velocidade em pontos diferentes).
  • Não há restrição extra (por exemplo, simetria conhecida do escoamento) além de poder medir velocidades em pontos distintos ao redor do ponto de interesse.

Passo 2

Entender o que precisamos estimar: a vorticidade local em 2D. Vamos escrever a definição (isso é teoria que você precisa saber).
\text{vorticidade } \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Explicando: \omega_z é o componente perpendicular ao plano xy. Aqui \partial v/\partial x é a derivada parcial do componente v em relação a x, e \partial u/\partial y é a derivada parcial do componente u em relação a y. Para obter \omega_z precisamos conhecer essas duas derivadas no ponto.

Passo 3

Como obter as derivadas a partir de medidas discretas de velocidade? Usamos uma aproximação linear local (expansão de Taylor de primeira ordem). Se o ponto de interesse tem coordenadas (x_0,y_0) e um ponto vizinho tem deslocamento (\Delta x,\Delta y), então aproximadamente:
u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx u_0+\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y,
v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx v_0+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y,
onde u_0=u(x_0,y_0) e v_0=v(x_0,y_0). Essas equações dão relações lineares entre diferenças de velocidade e as derivadas parciais (os termos desconhecidos que queremos estimar).

Passo 4

Contagem de incógnitas e equações (argumento de grau de liberdade). Quais incógnitas precisamos determinar?
  • Se quisermos o gradiente completo de velocidade (matriz Jacobiana), as incógnitas são
    \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x},\\ \frac{\partial u}{\partial y},\\ \frac{\partial v}{\partial x},\\ \frac{\partial v}{\partial y} — são 4 incógnitas.
  • Se também não soubermos u_0,v_0 no ponto central, então seriam 6 incógnitas no total ( u_0,v_0 mais as 4 derivadas). Mas para obter vorticidade precisamos apenas das 4 derivadas (ou seja, podemos trabalhar com diferenças de velocidade que eliminam u_0,v_0).
Cada medida de velocidade num ponto fornece 2 equações (componentes u e v). Porém, tomando um ponto de referência e formando diferenças em relação a ele, cada ponto extra (além do referencial) fornece 2 equações que envolvem somente as derivadas. Portanto, se medirmos a velocidade em N pontos e usarmos um como referência, obtemos 2(N-1) equações para as 4 incógnitas das derivadas.

Passo 5

Resolver a desigualdade para garantir sistema com ao menos tantas equações quanto incógnitas:
2(N-1)\ge 4 \quad\Longrightarrow\quad N-1\ge 2 \quad\Longrightarrow\quad N\ge 3.
Logo precisamos de pelo menos N=3 pontos de medição no plano para ter equações suficientes para determinar as 4 derivadas parciais (assumindo que as posições dos pontos geram equações independentes).

Passo 6

Condição geométrica importante: os três pontos não podem ser colineares. Por quê? Se os pontos estiverem todos em uma mesma linha, as diferenças (\Delta x,\Delta y) são todas múltiplos umas das outras e não fornecem informação independente para separar \partial/\partial x de \partial/\partial y. Para resolver o sistema linear e obter as quatro derivadas precisamos que os vetores de deslocamento (em relação ao ponto de referência) formem uma matriz de coeficientes com posto suficiente — na prática, dois deslocamentos linearmente independentes no plano (ou seja, dois vetores não colineares) são necessários.

Passo 7

Como, na prática, você procede com três medidas:
  • Meça \vec{u}_0=(u_0,v_0) no ponto de interesse (x_0,y_0).
  • Meça \vec{u}_1 e \vec{u}_2 em dois pontos vizinhos com deslocamentos \vec{r}_1=(\Delta x_1,\Delta y_1) e \vec{r}_2=(\Delta x_2,\Delta y_2), tais que \vec{r}_1 e \vec{r}_2 não sejam colineares.
  • Forme as diferenças \Delta\vec{u}_i=\vec{u}_i-\vec{u}_0 e escreva o sistema linear para as derivadas:
\begin{pmatrix} \Delta u_1 \\[4pt] \Delta v_1 \\[4pt] \Delta u_2 \\[4pt] \Delta v_2 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} \Delta x_1 & \Delta y_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \Delta x_1 & \Delta y_1\\[4pt] \Delta x_2 & \Delta y_2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \Delta x_2 & \Delta y_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\\[4pt] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}\\[4pt] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}\\[4pt] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}.
Se a matriz de coeficientes tiver posto 4 (o que ocorre quando \vec{r}_1 e \vec{r}_2 são adequados), você consegue resolver por mínimos quadrados/exatamente e obter \partial v/\partial x e \partial u/\partial y. Depois calcula a vorticidade pela fórmula do Passo 2.]

Passo 8

Resumo prático e moral de amigo: com menos de \,3\, pontos (por exemplo só dois pontos), não há informação suficiente para determinar ambas as derivadas necessárias à vorticidade em geral. Com exatamente \,3\, pontos bem posicionados (um ponto de referência mais dois pontos não colineares), você tem o mínimo necessário para estimar a vorticidade local usando aproximação linear.

Resposta

Três medidas de velocidade em pontos distintos, ou seja, pelo menos \,3\, pontos não colineares.

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