Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para estimar a vorticidade em um ponto?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o número mínimo de medidas de velocidade necessárias para estimar a vorticidade em um ponto.
Informações dadas / suposições implícitas que vamos usar:
Podemos medir o campo de velocidade vetorial \vec{u}=(u,v) em pontos próximos ao ponto onde queremos a vorticidade.
A vorticidade em 2D é uma quantidade local que depende de derivadas espaciais dos componentes de velocidade (isto aparece na figura com linhas de corrente concêntricas e setas de velocidade em pontos diferentes).
Não há restrição extra (por exemplo, simetria conhecida do escoamento) além de poder medir velocidades em pontos distintos ao redor do ponto de interesse.
Passo 2
Entender o que precisamos estimar: a vorticidade local em 2D. Vamos escrever a definição (isso é teoria que você precisa saber).
Explicando: \omega_z é o componente perpendicular ao plano xy. Aqui \partial v/\partial x é a derivada parcial do componente v em relação a x, e \partial u/\partial y é a derivada parcial do componente u em relação a y. Para obter \omega_z precisamos conhecer essas duas derivadas no ponto.
Passo 3
Como obter as derivadas a partir de medidas discretas de velocidade? Usamos uma aproximação linear local (expansão de Taylor de primeira ordem). Se o ponto de interesse tem coordenadas (x_0,y_0) e um ponto vizinho tem deslocamento (\Delta x,\Delta y), então aproximadamente:
u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx u_0+\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y,
v(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx v_0+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y,
onde u_0=u(x_0,y_0) e v_0=v(x_0,y_0). Essas equações dão relações lineares entre diferenças de velocidade e as derivadas parciais (os termos desconhecidos que queremos estimar).
Passo 4
Contagem de incógnitas e equações (argumento de grau de liberdade). Quais incógnitas precisamos determinar?
Se quisermos o gradiente completo de velocidade (matriz Jacobiana), as incógnitas são \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x},\\ \frac{\partial u}{\partial y},\\ \frac{\partial v}{\partial x},\\ \frac{\partial v}{\partial y} — são 4 incógnitas.
Se também não soubermos u_0,v_0 no ponto central, então seriam 6 incógnitas no total (u_0,v_0 mais as 4 derivadas). Mas para obter vorticidade precisamos apenas das 4 derivadas (ou seja, podemos trabalhar com diferenças de velocidade que eliminam u_0,v_0).
Cada medida de velocidade num ponto fornece 2 equações (componentes u e v). Porém, tomando um ponto de referência e formando diferenças em relação a ele, cada ponto extra (além do referencial) fornece 2 equações que envolvem somente as derivadas. Portanto, se medirmos a velocidade em N pontos e usarmos um como referência, obtemos 2(N-1) equações para as 4 incógnitas das derivadas.
Passo 5
Resolver a desigualdade para garantir sistema com ao menos tantas equações quanto incógnitas:
Logo precisamos de pelo menos N=3 pontos de medição no plano para ter equações suficientes para determinar as 4 derivadas parciais (assumindo que as posições dos pontos geram equações independentes).
Passo 6
Condição geométrica importante: os três pontos não podem ser colineares. Por quê? Se os pontos estiverem todos em uma mesma linha, as diferenças (\Delta x,\Delta y) são todas múltiplos umas das outras e não fornecem informação independente para separar \partial/\partial x de \partial/\partial y. Para resolver o sistema linear e obter as quatro derivadas precisamos que os vetores de deslocamento (em relação ao ponto de referência) formem uma matriz de coeficientes com posto suficiente — na prática, dois deslocamentos linearmente independentes no plano (ou seja, dois vetores não colineares) são necessários.
Passo 7
Como, na prática, você procede com três medidas:
Meça \vec{u}_0=(u_0,v_0) no ponto de interesse (x_0,y_0).
Meça \vec{u}_1 e \vec{u}_2 em dois pontos vizinhos com deslocamentos \vec{r}_1=(\Delta x_1,\Delta y_1) e \vec{r}_2=(\Delta x_2,\Delta y_2), tais que \vec{r}_1 e \vec{r}_2 não sejam colineares.
Forme as diferenças \Delta\vec{u}_i=\vec{u}_i-\vec{u}_0 e escreva o sistema linear para as derivadas:
Se a matriz de coeficientes tiver posto 4 (o que ocorre quando \vec{r}_1 e \vec{r}_2 são adequados), você consegue resolver por mínimos quadrados/exatamente e obter \partial v/\partial x e \partial u/\partial y. Depois calcula a vorticidade pela fórmula do Passo 2.]
Passo 8
Resumo prático e moral de amigo: com menos de \,3\, pontos (por exemplo só dois pontos), não há informação suficiente para determinar ambas as derivadas necessárias à vorticidade em geral. Com exatamente \,3\, pontos bem posicionados (um ponto de referência mais dois pontos não colineares), você tem o mínimo necessário para estimar a vorticidade local usando aproximação linear.
Resposta
Três medidas de velocidade em pontos distintos, ou seja, pelo menos \,3\, pontos não colineares.