• Em uma unidade de produção de fatias de abacaxi desidratadas, um secador opera nas seguintes condições: 1200 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de ar ambiente, com temperatura média de 27^{\circ} \mathrm{C} e umidade relativa em torno de 70 \%, que é aquecido pela passagem através de um trocador de calor indireto, sem contato de fluido de aquecimento com o ar. Ao sair do aquecedor, o ar se encontra a 60^{\circ} \mathrm{C} e é forçado a escoar sobre as bandejas que contêm as fatias de abacaxi. Finalmente, o ar de exaustão deixa o secador a \mathbf{3 6}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} e com \mathbf{5 5 \%} de UR. Calcule a taxa de transferência de calor no aquecedor e a massa de água perdida pelas fatias de abacaxi.

Passo 1

Enunciado resumido (o que temos e o que pedem):
  • Dados do ar de entrada:
    \dot{V}=1200\\ \mathrm{m^{3}/h}, temperatura \;T_{1}=27^\circ\mathrm{C}, umidade relativa \phi_{1}=70\%.
  • Ar é aquecido sem ganho/perda de vapor no trocador até \;T_{q}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Saída do secador (exaustão): \;T_{2}=36^\circ\mathrm{C}, umidade relativa \phi_{2}=55\%.
  • Pressão atmosférica (assumo padrão): \;p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{Pa}.
O que pedem:
  1. Taxa de transferência de calor no aquecedor (potência térmica fornecida ao ar).
  2. Massa de água evaporada (perdida pelas fatias) — ou seja, taxa de remoção de água pelo ar (massa por unidade de tempo).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • A umidade absoluta (razão de mistura) \;w [kg água/kg ar seco] é dada por
w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p_{atm}-p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor d’água (Pa) no ar. A constante 0{,}622 vem da razão das massas molares do vapor e do ar seco.
  • A pressão parcial do vapor é encontrada a partir da umidade relativa:
p_v = \varphi\; p_{sat}(T),
onde p_{sat}(T) é a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T.
  • Para p_{sat}(T) uso a fórmula de Tetens (boa aproximação prática para engenharia):
p_{sat}(T)=0{,}61078\;\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\))}.
Observação: converterei para Pa quando necessário.
Agora calculamos passo a passo os p_{sat}, p_v e w para os estados.
Cálculo de p_{sat} e p_v:
  • Para T_{1}=27^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(27^\circ\mathrm{C}) \approx 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot27}{27+237{,}3}\right)=3{,}567\\ \mathrm{kPa}.
p_{v1}=\phi_{1}\,p_{sat}(27^\circ\mathrm{C})=0{,}70\cdot3{,}567=2{,}497\\ \mathrm{kPa}.
  • Para T_{q}=60^\circ\mathrm{C} (só para referência do efeito do aquecimento):
p_{sat}(60^\circ\mathrm{C})\approx19{,}99\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: após aquecer o ar a 60^\circ\mathrm{C} a pressão parcial do vapor permanece p_{v1}=2{,}497\\ \mathrm{kPa} porque o aquecedor é indireto — não entra/ sai vapor.)
  • Para T_{2}=36^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(36^\circ\mathrm{C})\approx5{,}946\\ \mathrm{kPa}.
p_{v2}=\phi_{2}\,p_{sat}(36^\circ\mathrm{C})=0{,}55\cdot5{,}946=3{,}270\\ \mathrm{kPa}.
Cálculo das razões de mistura w:
  • Para o ar de entrada ( w_{1}):
w_{1}=0{,}622\;\frac{p_{v1}}{p_{atm}-p_{v1}} =0{,}622\;\frac{2{,}497}{101{,}325-2{,}497} \approx0{,}01572\\ \mathrm{kg\;H_{2}O/kg\;ar\\ seco}.
  • Para o ar de exaustão ( w_{2}):
w_{2}=0{,}622\;\frac{p_{v2}}{p_{atm}-p_{v2}} =0{,}622\;\frac{3{,}270}{101{,}325-3{,}270} \approx0{,}02075\\ \mathrm{kg\;H_{2}O/kg\;ar\\ seco}.
Diferença (quantidade de vapor incorporada por kg de ar seco):
\Delta w = w_{2}-w_{1}\approx0{,}02075-0{,}01572=0{,}00503\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 3

Determinar a vazão mássica de ar seco \dot{m}_{da} a partir da vazão volumétrica \dot{V}.
Raciocínio: a parte do ar seco ocupa uma fração da pressão total igual a p_{da}=p_{atm}-p_{v1}. Usando a equação dos gases ideais para o ar seco:
\rho_{da}=\frac{p_{da}}{R_d\,T_1},
onde R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)} e T_1 em Kelvin ( T_1=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K}). Então a vazão mássica de ar seco:
\dot{m}_{da}=\rho_{da}\,\dot{V}.
Cálculo numérico:
p_{da}=101{,}325-2{,}497=98{,}828\\ \mathrm{kPa}=98{,}828\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
\rho_{da}=\frac{98{,}828\cdot10^{3}}{287{,}05\cdot300{,}15}\approx1{,}1476\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Vazão volumétrica \dot{V}=1200\\ \mathrm{m^{3}/h}, então
\dot{m}_{da}=1{,}1476\cdot1200\approx1377{,}1\\ \mathrm{kg/h}.
(Se quiser em \mathrm{kg/s}: \dot{m}_{da}=1377{,}1/3600\approx0{,}3825\\ \mathrm{kg/s}.)

Passo 4

Massa de água evaporada (taxa de remoção de água pelas fatias):
A cada kg de ar seco entra \Delta w kg de água no ar. Logo a vazão mássica de água retirada do produto é
\dot{m}_{w}=\dot{m}_{da}\,\Delta w.
Cálculo numérico (em \mathrm{kg/h}):
\dot{m}_{w}=1377{,}1\cdot0{,}00503\approx6{,}93\\ \mathrm{kg/h}.
Em \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_{w}\approx\frac{6{,}93}{3600}\approx0{,}00193\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: as fatias perdem cerca de 6{,}93\\ \mathrm{kg} de água por hora sob as condições informadas.

Passo 5

Taxa de transferência de calor no aquecedor (potência do aquecedor):
Explicação física: o aquecedor eleva a temperatura do ar (mistura ar + vapor) de T_{1} até T_{q} sem alteração de umidade. A variação de entalpia por kg de ar seco é:
\Delta h = \Big(c_{pa} + w_{1}\,c_{pv}\Big)\,(T_{q}-T_{1}),
onde
  • c_{pa} é o calor específico do ar seco \approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},
  • c_{pv} é o calor específico do vapor d’água (gás) \approx1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},
  • w_{1} é a razão de mistura (kg vapor/kg ar seco) que permanece constante no aquecedor.
Cálculo numérico:
c_{pa}+w_{1}c_{pv}=1{,}005+0{,}01572\cdot1{,}86\approx1{,}03424\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.
\Delta T = T_{q}-T_{1}=60-27=33\\ \mathrm{K}.
\Delta h=1{,}03424\cdot33\approx34{,}13\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\\ seco}.
Potência térmica fornecida pelo aquecedor:
\dot{Q}=\dot{m}_{da}\,\Delta h.
Usando \dot{m}_{da}=1377{,}1\\ \mathrm{kg/h} e \Delta h em \mathrm{kJ/kg}, obtemos energia por hora; para potência em kW dividimos por 3600 (1 kW = 1 kJ/s):
\dot{Q} = 1377{,}1\cdot34{,}13\approx46{,}984\\ \mathrm{kJ/h}.
Convertendo para kW:
\dot{Q}=\frac{46{,}984}{3600}\approx13{,}05\\ \mathrm{kW}.
(Se preferir, usando \dot{m}_{da} em \mathrm{kg/s}=0{,}3825\\ \mathrm{kg/s}: \dot{Q}=0{,}3825\cdot34{,}13\approx13{,}06\\ \mathrm{kW} — mesma coisa dentro de arredondamento.)

Passo 6

Resumo físico rápido e checagem: o aquecedor fornece potência para elevar a temperatura do ar (sensible heat) sem evaporar água; no secador, o ar aquecido entra mais seco (RH muito baixa a 60^\circ\mathrm{C}) e sai mais úmido e mais frio, o que significa que parte da energia disponível foi usada no processo de secagem (evaporação) e parte foi perdida na troca térmica com o produto — os cálculos acima separam o aquecimento inicial (aquecedor) e a carga de água retirada (pela diferença de umidade).

Resposta

Taxa de transferência de calor no aquecedor: 13{,}05\\ \mathrm{kW}.
Massa de água perdida pelas fatias: 6{,}93\\ \mathrm{kg/h} (≈ 0{,}00193\\ \mathrm{kg/s}).

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