• Ex: Concentram-se 10.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução a 10 \% em açúcar até 30 \% em um evaporador, empregando-se vapor saturado a 150 kPa . A pressão absoluta no espaço de evaporação é de 13,2 \mathrm{kPa}. O coeficiente global de transferência de calor é estimado em 2000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.K. A temperatura da alimentação é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Os calores específicos das soluções podem ser admitidos como independentes da temperatura e expressos por: \mathrm{cp}_{\mathrm{F}} =4,186-0,025 B, sendo B a concentração da solução em { }^{\circ} B r i x ~ e ~ u n i d a d e ~ c p_{F} de \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Calcule o consumo de vapor e a área de transferência de calor. Considere uma EPE da solução final de \mathbf{0 , 4}{ }^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o consumo de vapor e a área de troca térmica para um evaporador que concentra uma solução. Dados relevantes (todos em TeX):
F = 10000\\ \mathrm{kg/h} \quad\text{(vazão de alimentação)}ãçã
\text{Concentração da alimentação } = 10\% \quad(\text{ou } B_F=10^\circ\text{Brix})çãçã
\text{Concentração do produto } = 30\% \quad(\text{ou } B_P=30^\circ\text{Brix})çã
\text{Pressão do vapor de aquecimento (saturado)} = 150\\ \mathrm{kPa}ã
\text{Pressão absoluta no espaço de evaporação} = 13,2\\ \mathrm{kPa}ãççã
U = 2000\\ \mathrm{W/m^2\cdot K}
T_{alimentação} = 30^\circ\mathrm{C}çã
c_{p}(B) = 4{,}186 - 0{,}025\,B \quad\left(\mathrm{kJ/kg\cdot K}\right)
\text{Elevação ebuliométrica (EPE) da solução final} = 0{,}4^\circ\mathrm{C}çãéçã
Perguntas:
  • Calcular o consumo de vapor (kg/h).
  • Calcular a área de transferência de calor (m²).

Passo 2

Primeiro faço o balanço de massa para achar a vazão do produto P e a massa de água evaporada V. Conservação do soluto (açúcar):
F\cdot x_F = P\cdot x_P,
onde x_F=0{,}10 e x_P=0{,}30. Logo
P = \frac{F\,x_F}{x_P} = \frac{10000\cdot 0{,}10}{0{,}30} = 3333{,}333\\ \mathrm{kg/h}.
A água evaporada é a diferença entre alimentação e produto:
V = F - P = 10000 - 3333{,}333 = 6666{,}667\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário curto e amigável: pronto — já sabemos quanto vapor se forma. Agora precisamos saber quanto calor isso exige, e a partir daí o consumo de vapor.

Passo 3

Calculo os calores específicos (cp) usando a fórmula dada para as concentrações relevantes. Lembre-se: B em ^\circBrix equivale aqui à porcentagem massa de açúcar.
Para a alimentação ( B_F=10):
c_{p,F} = 4{,}186 - 0{,}025\cdot 10 = 4{,}186 - 0{,}25 = 3{,}936\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K}.
Para a solução final ( B_P=30) (uso mais adiante se necessário):
c_{p,P} = 4{,}186 - 0{,}025\cdot 30 = 4{,}186 - 0{,}75 = 3{,}436\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K}.
Observação didática: aqui o cp é dado por massa total da solução (não só da água), por isso multiplicamos por toda a vazão F quando aquecemos a alimentação.

Passo 4

Determino a temperatura de ebulição da solução no evaporador. Precisamos da temperatura de saturação da água à pressão do espaço de evaporação ( 13{,}2\\ \mathrm{kPa}) e somar a EPE dada ( 0{,}4^\circ\mathrm{C}).
Usei pontos conhecidos da tabela de vapor: a pressão de saturação da água em 50^\circ\mathrm{C} é 12{,}352\\ \mathrm{kPa} e em 55^\circ\mathrm{C} é 15{,}733\\ \mathrm{kPa}. Faço interpolação linear para p=13{,}2\\ \mathrm{kPa}:
T_{sat}(13{,}2) = 50 + \frac{13{,}2-12{,}352}{15{,}733-12{,}352}\cdot 5.
Calculo o numerador e denominador:
13{,}2-12{,}352 = 0{,}848,\qquad 15{,}733-12{,}352 = 3{,}381.
A fração é 0{,}848/3{,}381 \approx 0{,}2507. Então
T_{sat}(13{,}2) \approx 50 + 0{,}2507\cdot 5 = 51{,}25^\circ\mathrm{C}.
Somando a EPE da solução final ( 0{,}4^\circ\mathrm{C}):
T_b = 51{,}25 + 0{,}4 = 51{,}65^\circ\mathrm{C}.
Explicação rápida: o fluido dentro do evaporador ferve a uma temperatura igual à temperatura de saturação do solvente (água) à pressão do local, mais a elevação do ponto de ebulição causada pelos sólidos dissolvidos (EPE).

Passo 5

Agora determino a temperatura do vapor de aquecimento (vapor saturado a 150\\ \mathrm{kPa}). Da tabela de vapor, a temperatura de saturação em 150\\ \mathrm{kPa} é aproximadamente
T_s \approx 111{,}4^\circ\mathrm{C}.
Comentário: é a temperatura à qual o steam (vapor) condensa, liberalizando sua entalpia latente para o fluido que está fervendo a T_b.

Passo 6

Preciso dos calores latentes (entalpia de vaporização) para a água na temperatura de ebulição do banho e para o vapor de aquecimento. Usei valores típicos de tabela de vapor:
\lambda_{evap\\ at\\ T_b} \approx 2436\\ \mathrm{kJ/kg}\quad\text{(entalpia de vaporização a }T_b\approx 51{,}65^\circ\mathrm{C})çã
\lambda_{steam\\ at\\\ 150\\ kPa} \approx 2097\\ \mathrm{kJ/kg}\quad\text{(entalpia liberada ao condensar o vapor a }150\\ \mathrm{kPa})
Observação didática: os valores foram obtidos em tabelas de vapor (h_fg varia com a temperatura); para problemas de prova normalmente se usa valores de tabela arredondados assim. A entalpia liberada por 1 kg de vapor condensado a 150\\ \mathrm{kPa} é o que fornece calor ao processo.

Passo 7

Balanço de energia do evaporador (estado estacionário, sem perdas importantes):
Energia fornecida pelo vapor de aquecimento (por hora):
Q_{fornecido} = S\cdot \lambda_{steam},
onde S é o consumo de vapor (kg/h) que queremos achar.
Energia necessária para:
  • aquecer a alimentação de T_{f}=30^\circ\mathrm{C} até T_b: F\cdot c_{p,F}\cdot (T_b - T_f),
  • evaporar a massa V: V\cdot \lambda_{evap\\ at\\ T_b}.
Portanto
S\cdot \lambda_{steam} = F\cdot c_{p,F}\cdot (T_b - T_f) + V\cdot \lambda_{evap\\ at\\ T_b}.
Substituo os valores (todos em kJ e horas para consistência em kJ/h):
F\cdot c_{p,F}\cdot (T_b - T_f) = 10000\cdot 3{,}936\cdot(51{,}65-30).
Calculo a diferença de temperatura:
51{,}65-30 = 21{,}65\\ \mathrm{K}.
Logo o aquecimento da alimentação é
10000\cdot 3{,}936\cdot 21{,}65 = 852144\\ \mathrm{kJ/h}.
O calor de evaporação é
V\cdot \lambda_{evap} = 6666{,}667\cdot 2436 = 16240000\\ \mathrm{kJ/h}.
Somando:
Q_{necessário} = 16240000 + 852144 = 17092144\\ \mathrm{kJ/h}.á
Agora o vapor necessário:
S = \frac{Q_{necessário}}{\lambda_{steam}} = \frac{17092144}{2097} \approx 8151{,}7\\ \mathrm{kg/h}.á
Arredondo para um número razoável de algarismos:
S \approx 8152\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário motivador: olha só, um pouco mais de vapor que a massa evaporada ( V) – isso é normal porque parte do calor vai só para aquecer a alimentação.

Passo 8

Converto a taxa de calor para unidades em Watts para usar na fórmula de área. Convertendo Q_{necessário}á de \mathrm{kJ/h} para \mathrm{W}:
1\\ \mathrm{kJ/h} = \frac{1000\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}} = 0{,}2777778\\ \mathrm{W}.
Portanto
Q = 17092144\\ \mathrm{kJ/h}\times 0{,}2777778 = 4747262\\ \mathrm{W}\\ (\approx 4{,}747\\ \mathrm{MW}).

Passo 9

Calculo a diferença de temperatura efetiva de projeto entre a superfície quente (vapor saturado) e o fluido a ferver. Neste caso o vapor condensa aproximadamente à T_s e o banho ferve praticamente à T_b (temperatura quase uniforme), então o diferencial de temperatura é praticamente constante:
\Delta T = T_s - T_b = 111{,}4 - 51{,}65 = 59{,}75^\circ\mathrm{C}.
Como a temperatura é praticamente constante de um lado (condensação) e do outro (ebulição com filme), podemos usar \Delta T_{lm} \approx \Delta T (caso simples de um único salto térmico).

Passo 10

Área de troca térmica usando a lei de resfriamento/global:
Q = U\cdot A\cdot \Delta T_{lm}.
Logo
A = \frac{Q}{U\cdot \Delta T_{lm}} = \frac{4747262}{2000\cdot 59{,}75}.
Calculo o denominador:
2000\cdot 59{,}75 = 119500.
Então
A = \frac{4747262}{119500} \approx 39{,}73\\ \mathrm{m^2}.
Arredondo: A \approx 39{,}7\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

Consumo de vapor: 8152\\ \mathrm{kg/h}
Área de transferência de calor: 39{,}7\\ \mathrm{m^2}

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