• Uma autoclave de esterilização de latas de extrato de tomate utiliza 220 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de água para resfriamento das latas após o tratamento térmico. Durante esse processo, a temperatura da água varia de 27 a 3^{\circ} \mathrm{C}. Para que seja possível reciclar essa água, uma torre de resfriamento será instalada em uma região onde a temperatura média do ar é de \mathbf{2 3}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} e sua UR é de \mathbf{5 3 \%}. Considere que o ar na saída da torre esteja aproximadamente 83 \% de UR e sua temperatura seja 29,5^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a vazão de ar seco necessária para o resfriamento, considerando que o processo seja adiabático? Qual é a taxa de reposição de água necessária para manter a vazão constante na entrada da autoclave? \mathrm{cpw}=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} (água)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Vazão de água para resfriamento: \;220\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Temperatura da água na entrada da torre: \;27^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água na saída da torre: \;3^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura média do ar ambiente (entrada da torre): \;23^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \;53\%.
  • Ar na saída da torre: umidade relativa \;83\% e temperatura \;29{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades: \;c_{pw}=4{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} (água líquida), \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
  • Considere o processo adiabático (ou seja, todo o calor retirado da água vai para o ar húmido).
  • Constantes adicionais que vou usar (valores comuns em psicrometria): \;c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} (ar seco), \;c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} (vapor d’água), e \;L_v será tratado pela fórmula padrão dentro da entalpia do ar húmido.
  • Pressão atmosférica padrão necessária para calcular razão de mistura: assumirei \;p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (não fornecida no enunciado, então esta é uma suposição padrão).
O que é pedido:
  1. A vazão de ar seco necessária para realizar o resfriamento adiabático.
  2. A taxa de reposição (make-up) de água necessária para manter a vazão de água da autoclave constante (ou seja, a massa de água evaporada por unidade de tempo).

Passo 2

Transformar a vazão volumétrica de água em massa e calcular a carga térmica (energia a ser removida por unidade de tempo).
  • Primeiro a massa de água por hora:
\dot{V}_w = 220\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h},\qquad \rho_w = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
\dot{m}_w = \rho_w \dot{V}_w = 1000\cdot 220 = 220\,000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
  • Variação de temperatura da água:
\Delta T_w = 27^\circ\mathrm{C}-3^\circ\mathrm{C}=24\\ \mathrm{K}.
  • Energia removida por hora (capacidade calorífica da água líquida):
\dot{Q} = \dot{m}_w\;c_{pw}\;\Delta T_w.
Substituindo:
\dot{Q} = 220\,000\cdot 4{,}18\cdot 24\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{h}.
Calculemos:
4{,}18\cdot 24 = 100{,}32\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
\dot{Q} = 220\,000\cdot 100{,}32 = 22\,070\,400\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{h}.
Dica curta: essa \dot{Q} é a potência térmica a ser absorvida pelo ar úmido, expressa em \mathrm{kJ}/\mathrm{h}. Podemos trabalhar com ela diretamente.

Passo 3

Explicar como relacionar o aumento de entalpia do ar úmido ao calor fornecido pela água (processo adiabático).
Em processos adiabáticos de torre de resfriamento (evaporativos), o calor perdido pela água é ganho pelo ar úmido. Usa-se a entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco:
h = c_{pa}\,T + \omega\,(2501 + c_{pv}\,T),
onde
  • h está em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\;ar\;seco},
  • T é a temperatura do ar em ^\circ\mathrm{C},
  • \omega é a razão de mistura (massa de vapor por kg de ar seco) em \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\;seco}},
  • 2501\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} é o calor latente de vaporização aproximado referenciado a 0^\circ\mathrm{C} na fórmula usada em psicrometria.
Energia ganha pelo ar por hora é:
\dot{Q} = \dot{m}_{da}\,\bigl(h_{out}-h_{in}\bigr),
onde \dot{m}_{da} é a vazão mássica de ar seco (o que queremos) em \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Logo:
\dot{m}_{da} = \frac{\dot{Q}}{h_{out}-h_{in}}.
Para usar isso precisamos de \omega_{in},\omega_{out},T_{in},T_{out} e então calcular h_{in},h_{out}.

Passo 4

Calcular as razões de mistura \omega_{in} e \omega_{out} a partir das temperaturas e URs dadas.
Fórmula para razão de mistura:
\omega = 0{,}622\;\frac{p_v}{p_{atm}-p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor de água ( \mathrm{kPa}) e p_{atm} a pressão atmosférica ( \mathrm{kPa}). E p_v = \mathrm{RH}\cdot p_{vs}(T), onde p_{vs}(T) é a pressão de saturação a temperatura T.
Vou usar a equação de Tetens (prática comum) para p_{vs}(T) em \mathrm{kPa}:
p_{vs}(T)=0{,}61078\exp\!\Bigl(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\Bigr),
com T em ^\circ\mathrm{C}.
Calculemos para o ar de entrada:
  • T_{in}=23^\circ\mathrm{C},\\ \mathrm{RH}_{in}=0{,}53.
p_{vs}(23)=0{,}61078\exp\!\Bigl(\frac{17{,}27\cdot 23}{23+237{,}3}\Bigr)\approx 2{,}809\\ \mathrm{kPa}.
p_{v,in}=0{,}53\cdot 2{,}809 \approx 1{,}489\\ \mathrm{kPa}.
\omega_{in}=0{,}622\;\frac{1{,}489}{101{,}325/1000 - 1{,}489/1000}\\ (\text{observe que converti }p_{atm}\text{ para kPa}) .
Usando p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}:
\omega_{in}\approx 0{,}00927\\ \mathrm{kg/kg\;ar\;seco}.
Agora para o ar de saída:
  • T_{out}=29{,}5^\circ\mathrm{C},\\ \mathrm{RH}_{out}=0{,}83.
p_{vs}(29{,}5)=0{,}61078\exp\!\Bigl(\frac{17{,}27\cdot 29{,}5}{29{,}5+237{,}3}\Bigr)\approx 4{,}123\\ \mathrm{kPa}.
p_{v,out}=0{,}83\cdot 4{,}123 \approx 3{,}423\\ \mathrm{kPa}.
\omega_{out}=0{,}622\;\frac{3{,}423}{101{,}325 - 3{,}423}\approx 0{,}02174\\ \mathrm{kg/kg\;ar\;seco}.
Diferença:
\Delta\omega=\omega_{out}-\omega_{in}\approx 0{,}02174-0{,}00927 = 0{,}01247\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\;seco}}.
(Comentário amigo: essas contas de pressão de saturação e razão de mistura são padrão em psicrometria; se der preguiça calculadora, dá pra entender qualitativamente: ar sai mais quente e muito mais úmido, então \omega aumenta.)

Passo 5

Calcular as entalpias específicas do ar úmido na entrada e na saída e a variação de entalpia por kg de ar seco.
Usando a fórmula:
h = c_{pa}\,T + \omega\,(2501 + c_{pv}\,T),
com c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} e c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
  • Para o ar de entrada ( T_{in}=23^\circ\mathrm{C}, \omega_{in}=0{,}00927):
h_{in}=1{,}006\cdot 23 + 0{,}00927\cdot(2501 + 1{,}86\cdot 23).
Calcule partes:
1{,}006\cdot 23 = 23{,}138\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
2501 + 1{,}86\cdot 23 = 2501 + 42{,}78 = 2543{,}78\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
0{,}00927\cdot 2543{,}78 \approx 23{,}586\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
h_{in}\approx 23{,}138 + 23{,}586 = 46{,}724\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\;ar\;seco}.
  • Para o ar de saída ( T_{out}=29{,}5^\circ\mathrm{C}, \omega_{out}=0{,}02174):
h_{out}=1{,}006\cdot 29{,}5 + 0{,}02174\cdot(2501 + 1{,}86\cdot 29{,}5).
Calcule partes:
1{,}006\cdot 29{,}5 = 29{,}677\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
2501 + 1{,}86\cdot 29{,}5 = 2501 + 54{,}87 = 2555{,}87\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg},
0{,}02174\cdot 2555{,}87 \approx 55{,}603\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
h_{out}\approx 29{,}677 + 55{,}603 = 85{,}280\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\;ar\;seco}.
  • Variação de entalpia por kg de ar seco:
\Delta h = h_{out}-h_{in} \approx 85{,}280 - 46{,}724 = 38{,}556\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\;ar\;seco}.

Passo 6

Calcular a vazão mássica de ar seco necessária usando balanço de energia.
Recordando \dot{Q}=22\,070\,400\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{h} (Passo 2) e \Delta h=38{,}556\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg\;ar\;seco} (Passo 5), temos:
\dot{m}_{da} = \frac{\dot{Q}}{\Delta h} = \frac{22\,070\,400}{38{,}556}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Calculando:
\dot{m}_{da} \approx 572\,440\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Convertendo para unidades mais familiares:
\dot{m}_{da} \approx \frac{572\,440}{3600}\approx 158{,}99\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}\\ (\text{≈ }159{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}).
Se quisermos a vazão volumétrica na entrada do ar (usualmente pedida como m^3/h), calculamos a densidade do ar seco aproximada em 23^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}:
\rho_{air}\approx 1{,}192\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\\ \text{(aprox. a }23^\circ\mathrm{C}).
Logo o volume:
\dot{V}_{da} = \frac{\dot{m}_{da}}{\rho_{air}} \approx \frac{572\,440}{1{,}192}\approx 480\,300\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
Ou em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
\dot{V}_{da}\approx \frac{480\,300}{3600}\approx 133{,}4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Comentário amigo: é uma vazão bem grande (torres de resfriamento industriais costumam trabalhar com fluxos de ar grandes).

Passo 7

Calcular a taxa de reposição (make-up) de água necessária.
A massa de água evaporada por hora é simplesmente o aumento de razão de mistura vezes a massa de ar seco por hora:
\dot{m}_{evap} = \dot{m}_{da}\,\Delta\omega.
Usando \dot{m}_{da}=572\,440\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h} e \Delta\omega=0{,}01247\\ \mathrm{kg/kg}:
\dot{m}_{evap} = 572\,440\cdot 0{,}01247 \approx 7\,135{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Convertendo para volume:
\dot{V}_{makeup} = \frac{\dot{m}_{evap}}{\rho_w} \approx \frac{7\,135{,}5}{1000} \approx 7{,}136\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
ou em \mathrm{L}/\mathrm{s}:
\frac{7{,}135{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}}{3600}\approx 1{,}982\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}\approx 1{,}982\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.
Observação: esse make-up corresponde apenas à água evaporada. Em prática industrial pode haver perdas por arraste (drift) e purgas; aqui consideramos apenas a evaporação resultante do processo adiabático.

Passo 8

Breve checagem qualitativa (pra te dar confiança): parte da remoção de calor vem da vaporização (latent heat) e parte do aquecimento sensível do ar. Se estimarmos só pela evaporação com L_v\approx 2440\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}, a energia absorvida pela evaporação seria 7{,}136\cdot 2440 \approx 17{,}4\cdot 10^6\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{h}, que é menor que a carga total 22{,}07\cdot 10^6\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{h}. O restante (~4,7·10^6 kJ/h) corresponde ao aquecimento sensível do ar — exatamente o que o cálculo por entalpia mostrou. Isso confirma que os valores estão coerentes.

Resposta

Vazão de ar seco necessária: \dot{m}_{da}\approx 572\,440\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}\approx 159{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}, equivalente a \dot{V}_{da}\approx 480\,300\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}\approx 133{,}4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n
Taxa de reposição de água necessária (make-up): \dot{m}_{evap}\approx 7\,135{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}\approx 7{,}136\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}\approx 1{,}982\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.

Exercícios relacionados