Uma câmara de destilação Flash opera a 30^{\circ} \mathrm{C} e 1000 kPa e está separando 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma alimentação composta por 10 \% molar de metano, 20 \% molar de etano, 25 \% molar de propano e 45 \% molar de n-butano. Quais são as composições dos produtos e suas vazões.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma clara para não nos perder):\n
  • Vazão mássica da alimentação: 1000\\ \mathrm{kg/h}.\n
  • Composição molar da alimentação: \,10\% metano, \,20\% etano, \,25\% propano e \,45\% n-butano. Escrevendo em frações molares:
z_{CH_4}=0,10,\quad z_{C_2H_6}=0,20,\quad z_{C_3H_8}=0,25,\quad z_{nC_4H_{10}}=0,45.
  • Condições de operação do flash: T=30^\circ\mathrm{C} e P=1000\\ \mathrm{kPa}.\n
    O que o problema pede: “Quais são as composições dos produtos e suas vazões.” Ou seja, precisamos encontrar a composição molar e as vazões (mol/h e kg/h) do vapor e do líquido saída do flash.

Passo 2

Estratégia e hipótese usada (explico a teoria necessária):\n
Em um flash isoterma-isobárica, cada componente satisfaz o equilíbrio líquido–vapor com uma constante de equilíbrio K_i definida por
K_i=\frac{y_i}{x_i},
onde y_i é a fração molar na fase vapor e x_i é a fração molar na fase líquida. Para uma solução ideal (hipótese usual em exercícios) aplicamos a Lei de Raoult para a fase líquida (atividade \approx 1) e gás ideal para a fase vapor, o que dá a aproximação
K_i\approx\frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P},
onde P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do componente puro à temperatura do flash e P é a pressão total do sistema.\n
Uma vez conhecidos os K_i e as frações molares da alimentação z_i, a fração molar de vapor (razão molar V/F, que chamamos de \beta) é encontrada pela equação de Rachford–Rice:
\sum_i \frac{z_i\,(K_i-1)}{1+\beta\,(K_i-1)}=0.
Explico: essa equação provém do balanço molar de cada componente F z_i = V y_i + L x_i, usando y_i=K_i x_i e F=V+L. Resolver essa equação para \beta nos dá a fração molar de vapor; então obtemos x_i e y_i por
x_i=\frac{z_i}{1+\beta\,(K_i-1)},\qquad y_i=K_i x_i.

Passo 3

Cálculo do número total de mols da alimentação e fluxos molares parciais (pré-requisito):\n
Precisamos das massas molares para converter massa \to mol: uso valores padrão aproximados
M_{CH_4}=16,04\\ \mathrm{g/mol},\quad M_{C_2H_6}=30,07\\ \mathrm{g/mol},
M_{C_3H_8}=44,10\\ \mathrm{g/mol},\quad M_{nC_4H_{10}}=58,12\\ \mathrm{g/mol}.
Massa molar média da mistura:
\bar{M}=\sum_i z_i M_i = 0,10\cdot16,04+0,20\cdot30,07+0,25\cdot44,10+0,45\cdot58,12=44,797\\ \mathrm{g/mol}.
Converto para \mathrm{kg/mol}: \bar{M}=0,044797\\ \mathrm{kg/mol}.\n
Logo o total de mols na alimentação é
F=\frac{1000\\ \mathrm{kg/h}}{0,044797\\ \mathrm{kg/mol}}=22327,6\\ \mathrm{mol/h}.
As vazões molares de cada componente na alimentação são
F_{CH_4}=0,10F=2232,8\\ \mathrm{mol/h},
F_{C_2H_6}=0,20F=4465,5\\ \mathrm{mol/h},
F_{C_3H_8}=0,25F=5581,9\\ \mathrm{mol/h},
F_{nC_4H_{10}}=0,45F=10047,4\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 4

Como obter P_i^{\text{sat}}(T) e os K_i: explicando e aplicando Clausius–Clapeyron (aproximação)\n
Para obter P_i^{\text{sat}}(T) eu usei a aproximação integrada de Clausius–Clapeyron tomando como referência a pressão de vapor à temperatura de ebulição normal (onde P^{\text{sat}}=1\\ \mathrm{atm}) e usando um valor aproximado da entalpia molar de vaporização \Delta H_{vap} (valores típicos). A fórmula usada é
\ln\!\left(\frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P^\circ}\right)=-\frac{\Delta H_{vap,i}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{b,i}}\right),
onde P^\circ=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (1 atm), T é a temperatura do flash em K, T_{b,i} é a temperatura de ebulição normal em K e R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.\n
Valores usados (temperaturas de ebulição normais em K e \Delta H_{vap} aproximadas em J/mol):
T_{b,CH_4}=111{,}45\\ \mathrm{K},\\ \Delta H_{vap,CH_4}=8180\\ \mathrm{J/mol}
T_{b,C_2H_6}=184{,}55\\ \mathrm{K},\\ \Delta H_{vap,C_2H_6}=14700\\ \mathrm{J/mol}
T_{b,C_3H_8}=231{,}05\\ \mathrm{K},\\ \Delta H_{vap,C_3H_8}=19000\\ \mathrm{J/mol}
T_{b,nC_4H_{10}}=272{,}65\\ \mathrm{K},\\ \Delta H_{vap,nC_4H_{10}}=24000\\ \mathrm{J/mol}
Temperatura do flash T=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.\n
Aplicando a fórmula (calculei passo a passo) obtive as pressões de vapor aproximadas:
P_{CH_4}^{\text{sat}}\approx26842\\ \mathrm{kPa}, \quad P_{C_2H_6}^{\text{sat}}\approx4286\\ \mathrm{kPa},
P_{C_3H_8}^{\text{sat}}\approx1064\\ \mathrm{kPa}, \quad P_{nC_4H_{10}}^{\text{sat}}\approx294\\ \mathrm{kPa}.
Observação importante (didática): para o metano a temperatura do flash está acima da temperatura crítica, então a noção estrita de pressão de vapor pura perde sentido; a aproximação via Clausius–Clapeyron é uma extrapolação grosseira, mas o resultado indica fortemente que K_{CH_4} será muito grande (metano tende a permanecer na fase vapor). Para étano/proprano/​butano as estimativas são razoáveis para um exercício de sala.\n
Com P=1000\\ \mathrm{kPa} calculamos então
K_i\approx\frac{P_i^{\text{sat}}}{P},
obtendo aproximadamente
K_{CH_4}=26,842,\quad K_{C_2H_6}=4,286,\quad K_{C_3H_8}=1,064,\quad K_{nC_4H_{10}}=0,294.

Passo 5

Resolver a equação de Rachford–Rice para \beta=V/F\n
A equação é
f(\beta)=\sum_i \frac{z_i\,(K_i-1)}{1+\beta\,(K_i-1)}=0.
Substituindo os z_i e K_i temos (explicitamente)
f(\beta)=\frac{0,10\,(26,842-1)}{1+ \beta(26,842-1)}+\frac{0,20\,(4,286-1)}{1+\beta(4,286-1)}+\frac{0,25\,(1,064-1)}{1+\beta(1,064-1)}+\frac{0,45\,(0,294-1)}{1+\beta(0,294-1)}.
Fiz uma solução numérica por tentativa (método da bisseção/interpolação):\n
  • f(0)=2,940 (positivo)\n
  • f(1)=-0,816 (negativo)\n
    Refinando por iterações, achei a raiz em
\beta\approx0,4657\quad(\text{ou seja }V/F\approx0,4657).
Logo vazão molar de vapor e líquido:
V=\beta F=0,4657\cdot22327,6=10399\\ \mathrm{mol/h},
L=F-V=22327,6-10399=11928,6\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 6

Determinar as composições molares x_i e y_i e verificar balanços (cálculo direto)\n
Usando
x_i=\frac{z_i}{1+\beta\,(K_i-1)},\qquad y_i=K_i x_i,
obtemos (arredondado, 4 casas decimais nas frações molares):
x_{CH_4}=0,0077,\quad x_{C_2H_6}=0,0791,\quad x_{C_3H_8}=0,2427,\quad x_{nC_4H_{10}}=0,6700,
y_{CH_4}=0,2059,\quad y_{C_2H_6}=0,3387,\quad y_{C_3H_8}=0,2585,\quad y_{nC_4H_{10}}=0,1969.
Verificação rápida: \sum x_i\approx1{,}000 e \sum y_i\approx1{,}000 (ok).\n
Vazões molares por componente nas fases (multiplico x_i por L e y_i por V):\n
Vapor ( \mathrm{mol/h}):
V_{CH_4}=2141,0,\quad V_{C_2H_6}=3523,9,\quad V_{C_3H_8}=2687,3,\quad V_{nC_4H_{10}}=2047,8.
Líquido ( \mathrm{mol/h}):
L_{CH_4}=91,5,\quad L_{C_2H_6}=943,6,\quad L_{C_3H_8}=2895,4,\quad L_{nC_4H_{10}}=7998,0.
Confirmei o balanço por componente: F_i=V_i+L_i dentro de pequenas diferenças de arredondamento.

Passo 7

Converter para vazões mássicas (kg/h) e checar balanços de massa\n
Multiplico as vazões molares parciais pelas massas molares (em \mathrm{kg/mol}: M_{CH_4}=0,01604, M_{C_2H_6}=0,03007, M_{C_3H_8}=0,04410, M_{nC_4H_{10}}=0,05812).\n
Vapor — vazões mássicas por componente:
\dot{m}_{CH_4,V}=2141,0\cdot0,01604=34,34\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{C_2H_6,V}=3523,9\cdot0,03007=105,99\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{C_3H_8,V}=2687,3\cdot0,04410=118,57\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{nC_4H_{10},V}=2047,8\cdot0,05812=119,01\\ \mathrm{kg/h}.
Soma do vapor: \dot{m}_V=34,34+105,99+118,57+119,01=377,9\\ \mathrm{kg/h}.\n
Líquido — vazões mássicas por componente:
\dot{m}_{CH_4,L}=91,5\cdot0,01604=1,47\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{C_2H_6,L}=943,6\cdot0,03007=28,36\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{C_3H_8,L}=2895,4\cdot0,04410=127,55\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{nC_4H_{10},L}=7998,0\cdot0,05812=465,59\\ \mathrm{kg/h}.
Soma do líquido: \dot{m}_L=1,47+28,36+127,55+465,59=622,0\\ \mathrm{kg/h}.\n
Verificação final de massa: \dot{m}_V+\dot{m}_L=377,9+622,0=999,9\approx1000\\ \mathrm{kg/h} (diferença de arredondamento insignificante). Tudo consistente.

Resposta

Vapor — frações molares: y_{CH_4}=0,2059,\;y_{C_2H_6}=0,3387,\;y_{C_3H_8}=0,2585,\;y_{nC_4H_{10}}=0,1969.\n
Vapor — vazões: V=10399\\ \mathrm{mol/h} (total) =\;377,9\\ \mathrm{kg/h}. Componentes (mol/h): 2141,0,\;3523,9,\;2687,3,\;2047,8. Componentes (kg/h): 34,34,\;105,99,\;118,57,\;119,01. \n
Líquido — frações molares: x_{CH_4}=0,0077,\;x_{C_2H_6}=0,0791,\;x_{C_3H_8}=0,2427,\;x_{nC_4H_{10}}=0,6700.\n
Líquido — vazões: L=11928,6\\ \mathrm{mol/h} (total) =\;622,0\\ \mathrm{kg/h}. Componentes (mol/h): 91,5,\;943,6,\;2895,4,\;7998,0. Componentes (kg/h): 1,47,\;28,36,\;127,55,\;465,59.

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