Continuando a sua carreira na ACME Engenharia Lida., você agora está trabalhando no projeto das unidades auxiliares de esterilização e refrigeração de uma nova planta de biotecnologia.
(i) Unidade de esterilização:
Para alcançar o grau de assepsia desejado, a corrente de mosto com vazāo de 5400 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, que alimenta as dornas de fermentaçalo, deverá ser aquecida de 30^{\circ} \mathrm{C} até 90^{\circ} \mathrm{C} utilizando vapor saturado a 152{ }^{\circ} \mathrm{C} e 4,2 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} \mathrm{~g}. Sua reponsabilidade é determinar a área total de transferència de calor para a realização deste serviço. Considerando que esta será constituida de um conjunto de trocadores de calor bitubulares, você deve também determinar o número de grampos em série e em paralelo que serăo utilizados.
→ Dados do trocador: Posicionamento: Horizontal; Alocação dos fluidos: Mosto escoando no \rho^{3} \rho^{\circ} \mathrm{C} (The interno; Tubo interno: 3 / 4{ }^{\circ} in de diámetro BWG 16 (espessura 0.065 \mathrm{in)}. Tubo externo 2 in de tubo { }^{\text {® }} BWG 16 (espessura 0,065 \mathrm{in} ); Comprimento do grampo: 10 ft ; Material: Aço inox: Condutividade térmica: 15 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).
→ Orientações: O seu gerente passou para voċé as seguintes instruções: (a) A velocidade de escoamento do mosto no interior do trocador nabode ser próxima (mas nåo inferior) a 1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (b) Assumir que o cocficiente de convecção calculado nas condições de entrada do mosto é válido para todo trocador (estimativa conservadora); c) Os valores do fator de sujeira para as correntes de mosto e para o vapor são iguais a 0,0005 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W} e 0,0001 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~K} / \mathrm{W}, respectivamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados do processo (peguei estes valores do enunciado):
    • Vazão mássica do mosto: \dot m = 5400\\ \mathrm{kg/h}.
    • Temperatura de entrada do mosto: T_{c,i}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de saída desejada do mosto: T_{c,o}=90^\circ\mathrm{C}.
    • Vapor saturado: T_s=152^\circ\mathrm{C} (pressão indicada 4{,}2\\ \mathrm{kgf/cm^2\,g} — usei a temperatura de saturação dada).
  • Geometria e materiais (peguei estes valores do enunciado):
    • Tubo interno: 3/4 in BWG 16 (espessura t=0{,}065 in).
    • Tubo externo: 2 in BWG 16 (espessura 0{,}065 in).
    • Comprimento de cada grampo: L=10\\ \mathrm{ft}.
    • Material dos tubos: aço inox com condutividade térmica k_s=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Restrições e fatores (peguei estes valores do enunciado):
    • Velocidade do mosto no interior do trocador deve ser próxima (mas não inferior) a 1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
    • Fator de sujeira (fouling): mosto R_{f,c}=0{,}0005\\ \mathrm{m^2K/W}; vapor R_{f,h}=0{,}0001\\ \mathrm{m^2K/W}.
    • Assumir que o coeficiente de convecção calculado nas condições de entrada do mosto pode ser aplicado ao longo do trocador (estimativa conservadora).
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a área total de transferência de calor necessária para aquecer o mosto de 30^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C} usando vapor saturado a 152^\circ\mathrm{C}.
    2. Considerando trocadores bitubulares com grampos de L=10\\ \mathrm{ft}, determinar o número de grampos em série e em paralelo a usar (respeitando a restrição de velocidade).
  • Observações/assunções necessárias (não foram dadas explicitamente, então explico e justifico):
    • Vou aproximar propriedades do mosto pelas da água a temperatura média do processo (filme térmico): isso é comum em projetos preliminares quando a composição não é fornecida.
    • Vou usar medidas padrão: para tubo 3/4 in usei OD padrão 0{,}875\\ \mathrm{in} e converto polegadas a metros. As conversões e valores estarão explícitos nos passos seguintes.

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão mássica em \mathrm{kg/s}.
  • \dot m = 5400\\ \mathrm{kg/h} = \dfrac{5400}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 1{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
(Coloquei este valor em \mathrm{kg/s} porque todas as contas dinâmicas usam SI.)

Passo 3

Calcular a carga térmica (potência) necessária \dot Q.
  • Energia necessária para aquecer: \dot Q = \dot m \, c_p \, (T_{c,o}-T_{c,i}).
  • Assumi c_p do mosto ≈ c_p da água a temperaturas médias: c_p \approx 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Então \dot Q = 1{,}5\cdot 4180\cdot (90-30)
\dot Q = 1{,}5\cdot 4180\cdot 60 = 376200\\ \mathrm{W} = 376{,}2\\ \mathrm{kW}.
Explicação didática: c_p é a capacidade térmica massica (energia necessária para elevar 1 kg em 1 K). Multiplicando por vazão mássica e variação de temperatura obtém-se a potência térmica requerida.

Passo 4

Calcular o LMTD (log-mean temperature difference) para vapor saturado (temperatura praticamente constante) em contato com o mosto que é aquecido de 30^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C}.
  • Para vapor condensando a temperatura constante T_s, e correntes em contraflux, os delta-temperatura nas extremidades são \Delta T_1 = T_s - T_{c,o} = 152 - 90 = 62\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_s - T_{c,i} = 152 - 30 = 122\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • LMTD é \Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln(\Delta T_2/\Delta T_1)} = \frac{122-62}{\ln(122/62)}.Calculando: \Delta T_{lm} \approx \frac{60}{\ln(1{,}9677)} \approx \frac{60}{0{,}676} \approx 88{,}76\\ ^\circ\mathrm{C}.
Explicação didática: LMTD é a média logarítmica das diferenças de temperatura ao longo do trocador e é apropriado quando uma das correntes tem temperatura aproximadamente constante (como vapor em condensação).

Passo 5

Determinar as dimensões internas dos tubos (conversões) e a área de um grampo.
  • Conversão polegada → metro: 1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m}.
  • Tubo interno 3/4 in: presumi OD padrão =0{,}875\\ \mathrm{in}=0{,}875\cdot 0{,}0254=0{,}022225\\ \mathrm{m}.
  • Espessura t=0{,}065\\ \mathrm{in}=0{,}065\cdot 0{,}0254=0{,}001651\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno D_i = \mathrm{OD} - 2t = 0{,}022225 - 2(0{,}001651) = 0{,}018923\\ \mathrm{m}.
  • Raio interno r_i = D_i/2 = 0{,}0094615\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tubo interno r_o = r_i + t = 0{,}0111125\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de um grampo L = 10\\ \mathrm{ft} = 10\cdot 0{,}3048 = 3{,}048\\ \mathrm{m}.
  • Área de troca por grampo (área externa do tubo interno considerada para transferência): perímetro interno (circunferência) vezes comprimento; uso a superfície exterior do tubo interno para cálculo de área útil aproximada: A_{\text{grampo}} = \pi D_i L = \pi\cdot 0{,}018923\cdot 3{,}048 \approx 0{,}1810\\ \mathrm{m^2}.
Explicação: a área de troca efetiva de cada grampo é a área lateral do tubo pelo comprimento; o calor atravessa a parede do tubo entre superfície interna e externa, mas a área externa do tubo interno (ou área média) é aproximadamente a área usada para a conta.

Passo 6

Escolher velocidade e calcular quantos grampos em paralelo são necessários para que a velocidade do mosto não seja inferior a 1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro calcule a vazão volumétrica do mosto (usei densidade aproximada \rho\approx 983\\ \mathrm{kg/m^3} à temperatura média; isso só altera levemente o resultado): \dot V = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{1{,}5}{983} \approx 0{,}001526\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área da seção transversal interna do tubo: A_{cs} = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi (0{,}018923)^2}{4}\approx 0{,}0002813\\ \mathrm{m^2}.
  • Se tivéssemos N_p tubos em paralelo, a velocidade em cada tubo seria v = \frac{\dot V}{N_p A_{cs}}.Queremos v \gtrsim 1{,}5\\ \mathrm{m/s}. Resolvo para N_p máxima que mantém v\ge 1{,}5: N_p \le \frac{\dot V}{A_{cs}\cdot 1{,}5} = \frac{0{,}001526}{0{,}0002813\cdot 1{,}5} \approx 3{,}61.
  • Como N_p deve ser inteiro, o maior inteiro que não faz v cair abaixo de 1{,}5 é N_p = 3.
  • Verificação: com N_p=3, v = \frac{0{,}001526}{3\cdot 0{,}0002813} \approx 1{,}81\\ \mathrm{m/s},que está acima de 1{,}5\\ \mathrm{m/s} e razoavelmente próximo (conforme orientado).
Explicação didática: escolhemos a menor quantidade inteira de paralelos que ainda respeita a restrição de não ficar abaixo de 1{,}5\\ \mathrm{m/s}. Isso é comum em projeto: arranjar tubos paralelos para dividir a vazão e garantir velocidade alvo.

Passo 7

Calcular o coeficiente convectivo interno h_i usando correlação de convecção interna (Dittus–Boelter), avaliando propriedades do fluido à temperatura média.
  • Temperatura média (filme) assumida: T_{fm}=(T_{c,i}+T_{c,o})/2=(30+90)/2=60^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades aproximadas da água a 60^\circ\mathrm{C} (valores típicos usados em projeto):
    • \rho \approx 983\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • \mu \approx 4{,}66\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • k \approx 0{,}653\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • c_p \approx 4182\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • Pr = \dfrac{c_p \mu}{k} \approx 3{,}0.
  • Usando v na entrada (conservador: usei o valor de projeto no interior do tubo, aqui v=1{,}81\\ \mathrm{m/s} com 3 paralelos; porém orientação disse usar coeficiente calculado nas condições de entrada — usamos esse v como base): \mathrm{Re} = \dfrac{\rho v D_i}{\mu} = \dfrac{983\cdot 1{,}81\cdot 0{,}018923}{4{,}66\times 10^{-4}} \approx 59800.(Reynolds ≫ 4000 → regime turbulento.)
  • Correlação de Dittus–Boelter (válida para fluxo turbulento em tubos lisos): \mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,Pr^{0{,}4}.Substituindo: \mathrm{Nu} \approx 0{,}023\cdot 59800^{0{,}8}\cdot 3{,}0^{0{,}4}\approx 236.
  • Coeficiente de convecção interno h_i = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_i} \approx \frac{236\cdot 0{,}653}{0{,}018923} \approx 8138\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Explicação didática: Re mostra se o fluxo é laminar ou turbulento; em turbulento aplicamos Dittus–Boelter. Nu relaciona transporte convectivo e condutivo; multiplicando por condutividade e dividindo por diâmetro obtém-se h.

Passo 8

Calcular a resistência térmica total por unidade de área (referida à área interna do tubo) e o coeficiente global de transferência U.
As resistências de calor em série (por unidade de área da superfície interna) são:
  • Resistência convectiva do mosto (interna): R_{conv,i} = \dfrac{1}{h_i}.
  • Resistência por sujeira (mosto): R_{f,i} = R_{f,c} = 0{,}0005\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Resistência da parede cilíndrica do tubo: para parede cilíndrica a resistência por unidade de área interna é R_{wall} = \frac{\ln(r_o/r_i)\,r_i}{k_s}.Calculando: \ln\frac{r_o}{r_i} = \ln\left(\frac{0{,}0111125}{0{,}0094615}\right) \approx 0{,}160,
R_{wall} = \frac{0{,}160\cdot 0{,}0094615}{15} \approx 1{,}009\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
  • Resistência por sujeira do lado do vapor: o fouling dado R_{f,h}=0{,}0001\\ \mathrm{m^2K/W} é normalmente referenciado à área do lado onde ele age (aqui a área externa do tubo interno). Para somar com resistências referidas à área interna é necessário converter para base interna multiplicando pela razão de áreas A_o/A_i = r_o/r_i. R_{f,h\\ \text{(ref. à área interna)}} = R_{f,h}\cdot\frac{r_o}{r_i} \approx 0{,}0001\cdot 1{,}174 = 1{,}174\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.àá
  • A resistência convectiva do vapor (filme de condensação) é tipicamente muito pequena (coeficiente muito grande); como o enunciado não forneceu h_h e por ser condensação (resistência baixa), adotamos 1/h_h \approx 0 e consideramos apenas o fouling do lado do vapor.
Somando:
R_{tot} = \frac{1}{h_i} + R_{f,i} + R_{wall} + R_{f,h\\ (\text{ref. int.})}.
Numérico:
\frac{1}{h_i} \approx \dfrac{1}{8138}\approx 1{,}228\times 10^{-4},
R_{tot}\approx 1{,}228\times 10^{-4} + 5{,}000\times 10^{-4} + 1{,}009\times 10^{-4} + 1{,}174\times 10^{-4}
R_{tot}\approx 8{,}401\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2K/W}.
Portanto
U = \frac{1}{R_{tot}} \approx \frac{1}{8{,}401\times 10^{-4}} \approx 1190\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Explicação didática: somamos todas as resistências térmicas em série (convecção interna + fouling interno + condução na parede + fouling externo). Converti o fouling externo para referência à área interna para somar corretamente. Adotar 1/h_h\approx 0 é razoável quando o processo é condensação de vapor (coeficiente muito alto) — o principal efeito externo aqui é o fouling externo fornecido.

Passo 9

Calcular a área de troca térmica necessária A usando \dot Q = U A \Delta T_{lm}.
A = \frac{\dot Q}{U\,\Delta T_{lm}} = \frac{376200}{1190\cdot 88{,}76} \approx 3{,}56\\ \mathrm{m^2}.
Interpretação: isto é a área teórica requerida para transferir os 376{,}2\\ \mathrm{kW} sob as hipóteses feitas.

Passo 10

Determinar o número de grampos (cada um com área A_{\text{grampo}}) e a disposição em série/paralelo respeitando a restrição de velocidade.
  • Área por grampo: A_{\text{grampo}}\approx 0{,}1810\\ \mathrm{m^2} (calculado no Passo 5).
  • Número mínimo de grampos (teórico) para obter a área A: N_{\text{teo}} = \frac{A}{A_{\text{grampo}}} = \frac{3{,}56}{0{,}1810}\approx 19{,}66 \Rightarrow 20\\ \text{grampos (arredondando para cima)}.
  • Mas é preciso escolher quantos em paralelo N_p e quantos em série N_s (com N_p\cdot N_s = N_{\text{total}}). Devemos garantir v\ge 1{,}5\\ \mathrm{m/s}. No Passo 6 vimos que o maior inteiro de paralelos que mantém v\ge1{,}5 é N_p=3. Vamos avaliar opções práticas e arredondamentos:
    • Se escolher N_p=3, então N_s = \left\lceil\dfrac{A}{N_p A_{\text{grampo}}}\right\rceil = \left\lceil\dfrac{3{,}56}{3\cdot 0{,}1810}\right\rceil = \lceil 6{,}56\rceil = 7.
      • Assim N_{\text{total}}=3\cdot 7=21 grampos.
      • Área instalada =21\cdot 0{,}1810 = 3{,}801\\ \mathrm{m^2}, que é um pouco maior que a área teórica (segurança positiva ≈ 7{,}0\%).
      • Velocidade real com N_p=3: v=\dfrac{\dot V}{3 A_{cs}}\approx 1{,}81\\ \mathrm{m/s} (acima de 1{,}5\\ \mathrm{m/s} e razoavelmente próxima).
    • Se escolher N_p=2, então N_s=\lceil 3{,}56/(2\cdot0{,}1810)\rceil = \lceil 9{,}83\rceil =10, total =20 grampos (exatamente o número mínimo inteiro calculado antes). Velocidade real seria maior ( \approx 2{,}71\\ \mathrm{m/s}), o que é aceitável, mas mais distante do objetivo de ~ 1{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Seguindo a orientação de manter a velocidade próxima de 1{,}5\\ \mathrm{m/s} e não inferior, a escolha N_p=3 e N_s=7 (total 21 grampos) é um bom compromisso (velocidade cerca de 1{,}8\\ \mathrm{m/s} e área instalada com pequena margem de segurança).
Explicação didática: em projeto prático normalmente arredondamos para ter um número inteiro de tubos por linha e para obter uma margem de segurança. Também escolhemos o número de paralelos para controlar a velocidade; muito baixa é proibida e muito alta pode gerar queda de pressão elevada e desgaste.

Passo 11

Resumo de verificação e observações finais (curta verificação numérica).
  • Área teórica necessária: A_{\text{req}} \approx 3{,}56\\ \mathrm{m^2}.
  • Configuração proposta (satisfaz restrição de velocidade e mantém margem): N_p=3 grampos em paralelo e N_s=7 em série por paralelo.
    • Total de grampos: 3\cdot 7 = 21.
    • Área instalada: A_{\text{inst}}=21\cdot 0{,}1810 \approx 3{,}80\\ \mathrm{m^2}.
  • Com a área instalada e o U calculado, a capacidade térmica disponível seria ligeiramente maior que a requerida (margem de projeto positiva), o que é prudente.
  • Observações importantes e limitações do cálculo:
    • Assumi propriedades do mosto iguais às da água a 60^\circ\mathrm{C}. Se o mosto tiver viscosidade bem maior (por exemplo por sólidos dissolvidos), h_i cairia e a área necessária aumentaria.
    • Assumi que a resistência do filme de condensação do vapor é desprezível comparada ao fouling; se houver condições que reduzam muito a condensação (ex.: arranjo ruim de escoamento do condensado), o U real pode ser menor.
    • Não calculei a queda de pressão nos tubos; em projeto real verificaria se a queda de pressão com v\approx 1{,}8\\ \mathrm{m/s} é aceitável.
    • Valores finais devem ser revisados se houver dados reais do mosto (viscosidade, cp, densidade) ou limites práticos de fabricação/instalação.

Resposta

Área teórica requerida: 3{,}56\\ \mathrm{m^2}
Configuração proposta (respeitando v\gtrsim 1{,}5\\ \mathrm{m/s}): 3 grampos em paralelo e 7 em série por paralelo (total 21 grampos), área instalada 3{,}80\\ \mathrm{m^2}

Exercícios relacionados