Verifique por substituição que as seguintes equações são solução para as equações de onda eletromagnéticas:
Passo 1
O enunciado dá as duas funções (dependendo de
e
):
E pede: verificar por substituição que essas expressões são soluções das equações de onda eletromagnéticas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
e são amplitudes constantes (não dependem de nem de ). -
é o número de onda e é a frequência angular (ambos constantes). - A dependência espacial e temporal aparece somente através do argumento
.
Passo 2
Qual é a equação de onda que vamos verificar (forma unidimensional, adequada para uma componente de campo em vácuo)? A equação de onda unidimensional para um componente de campo (por exemplo uma componente de
ou
) é
onde
representa a componente do campo (pode ser
ou
) e
é a velocidade da luz no vácuo. Explicando variáveis:
-
: a função que queremos testar (aqui será ou ). -
: coordenada espacial (uma dimensão só, pois a dependência é ). -
: tempo. -
: velocidade da onda (no caso eletromagnético no vácuo, é a velocidade da luz).
Para provar queé solução, precisamos calcular e e verificar se a combinação acima é zero.
Passo 3
Vamos aprender e aplicar a regra prática para derivar funções do tipo
. Regra: ao derivar em relação a
ou
, usa-se a regra da cadeia. Dois pontos-chave:
-
. - Ao derivar
em relação a , a derivada do argumento em relação a é . Em relação a , a derivada do argumento em relação a é .
Primeira derivada em:
Segunda derivada em
: derivar novamente usando a cadeia (derivada de
é
vezes derivada de
, que é
vezes outra
):
Passo 4
Agora as derivadas em
. Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
: derivar
dá
vezes derivada de
, que é
vezes a derivada do argumento em
(que é
):
Passo 5
Agora aplicamos isso à função
. Como
é constante, ele sai dos operadores diferenciais:
Substituindo na equação de onda:
Fatorando
:
Passo 6
Para que a combinação acima seja zero para todos
e
(isto é, para que
satisfaça a equação de onda), precisamos que o fator entre parênteses seja zero:
Isto dá a relação de dispersão
Escolhendo a solução de frequência positiva normalmente usamos
. Portanto
é solução da equação de onda desde que
(fisicamente
).
Passo 7
Repetimos o mesmo raciocínio para
. Como a forma funcional é idêntica (apenas troca
por
), as segundas derivadas em
e
são as mesmas, multiplicadas por
. Substituindo na equação de onda obtém-se a mesma condição:
Logo
também satisfaz a equação de onda se
.
Passo 8
Resumo e interpretação física curta (para você levar pra prova): distinguir entre a verificação algébrica e a condição física. A verificação por substituição mostrou que as funções trigonométricas dadas tornam a equação de onda zero apenas quando a relação
(ou
) vale. Esta relação diz que a velocidade de fase da onda é
, ou seja, as ondas viajam à velocidade da luz no vácuo. A técnica prática que você deve lembrar na prova: calcular as segundas derivadas, ver que cada uma traz um fator
ou
, e exigir que os fatores se cancelem.
Resposta
E: é solução da equação de onda se
(fisicamente
).
B: é solução da equação de onda se (fisicamente
).
B: é solução da equação de onda se