Verifique por substituição que as seguintes equações são solução para as equações de onda eletromagnéticas:
\begin{aligned} & E=E_{\max } \cos (\kappa x-\omega t) \\ & B=B_{\max } \cos (\kappa x-\omega t) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as duas funções (dependendo de x e t):
E = E_{\max}\cos(\kappa x - \omega t)
B = B_{\max}\cos(\kappa x - \omega t)
E pede: verificar por substituição que essas expressões são soluções das equações de onda eletromagnéticas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • E_{\max} e B_{\max} são amplitudes constantes (não dependem de x nem de t).
  • \kappa é o número de onda e \omega é a frequência angular (ambos constantes).
  • A dependência espacial e temporal aparece somente através do argumento \kappa x - \omega t.

Passo 2

Qual é a equação de onda que vamos verificar (forma unidimensional, adequada para uma componente de campo em vácuo)? A equação de onda unidimensional para um componente de campo (por exemplo uma componente de \mathbf{E} ou \mathbf{B}) é
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} = 0,
onde \Phi(x,t) representa a componente do campo (pode ser E ou B) e c é a velocidade da luz no vácuo. Explicando variáveis:
  • \Phi(x,t): a função que queremos testar (aqui será E ou B).
  • x: coordenada espacial (uma dimensão só, pois a dependência é \kappa x).
  • t: tempo.
  • c: velocidade da onda (no caso eletromagnético no vácuo, c é a velocidade da luz).
    Para provar que \Phi é solução, precisamos calcular \partial^{2}\Phi/\partial x^{2} e \partial^{2}\Phi/\partial t^{2} e verificar se a combinação acima é zero.

Passo 3

Vamos aprender e aplicar a regra prática para derivar funções do tipo \cos(\kappa x - \omega t). Regra: ao derivar em relação a x ou t, usa-se a regra da cadeia. Dois pontos-chave:
  • \dfrac{d}{du}\cos(u) = -\sin(u).
  • Ao derivar \cos(\kappa x - \omega t) em relação a x, a derivada do argumento em relação a x é \kappa. Em relação a t, a derivada do argumento em relação a t é -\omega.
    Primeira derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}\cos(\kappa x - \omega t) = -\kappa\sin(\kappa x - \omega t).
Segunda derivada em x: derivar novamente usando a cadeia (derivada de -\kappa\sin(\cdot) é -\kappa vezes derivada de \sin, que é \cos vezes outra \kappa):
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\cos(\kappa x - \omega t) = -\kappa \cdot \kappa \cos(\kappa x - \omega t) = -\kappa^{2}\cos(\kappa x - \omega t).

Passo 4

Agora as derivadas em t. Primeira derivada em t:
\frac{\partial}{\partial t}\cos(\kappa x - \omega t) = -(-\omega)\sin(\kappa x - \omega t) = \omega\sin(\kappa x - \omega t).
Segunda derivada em t: derivar \omega\sin(\cdot) \omega vezes derivada de \sin, que é \cos vezes a derivada do argumento em t (que é -\omega):
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\cos(\kappa x - \omega t) = \omega \cdot (-\omega) \cos(\kappa x - \omega t) = -\omega^{2}\cos(\kappa x - \omega t).

Passo 5

Agora aplicamos isso à função E(x,t)=E_{\max}\cos(\kappa x - \omega t). Como E_{\max} é constante, ele sai dos operadores diferenciais:
\frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}} = E_{\max}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\cos(\kappa x - \omega t) = E_{\max}\bigl(-\kappa^{2}\cos(\kappa x - \omega t)\bigr) = -E_{\max}\kappa^{2}\cos(\kappa x - \omega t).
\frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = E_{\max}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\cos(\kappa x - \omega t) = E_{\max}\bigl(-\omega^{2}\cos(\kappa x - \omega t)\bigr) = -E_{\max}\omega^{2}\cos(\kappa x - \omega t).
Substituindo na equação de onda:
\frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = -E_{\max}\kappa^{2}\cos(\kappa x - \omega t) - \frac{1}{c^{2}}\bigl(-E_{\max}\omega^{2}\cos(\kappa x - \omega t)\bigr).
Fatorando E_{\max}\cos(\kappa x - \omega t):
\frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = E_{\max}\cos(\kappa x - \omega t)\left(-\kappa^{2} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}\right).

Passo 6

Para que a combinação acima seja zero para todos x e t (isto é, para que E satisfaça a equação de onda), precisamos que o fator entre parênteses seja zero:
-\kappa^{2} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\omega^{2}}{c^{2}} = \kappa^{2}.
Isto dá a relação de dispersão
\omega^{2} = c^{2}\kappa^{2}\quad\Longrightarrow\quad \omega = \pm c\kappa.
Escolhendo a solução de frequência positiva normalmente usamos \omega = c\kappa. Portanto E é solução da equação de onda desde que \omega = \pm c\kappa (fisicamente \omega=c\kappa).

Passo 7

Repetimos o mesmo raciocínio para B(x,t)=B_{\max}\cos(\kappa x - \omega t). Como a forma funcional é idêntica (apenas troca E_{\max} por B_{\max}), as segundas derivadas em x e t são as mesmas, multiplicadas por B_{\max}. Substituindo na equação de onda obtém-se a mesma condição:
\frac{\partial^{2} B}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} B}{\partial t^{2}} = B_{\max}\cos(\kappa x - \omega t)\left(-\kappa^{2} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}\right).
Logo B também satisfaz a equação de onda se \omega = \pm c\kappa.

Passo 8

Resumo e interpretação física curta (para você levar pra prova): distinguir entre a verificação algébrica e a condição física. A verificação por substituição mostrou que as funções trigonométricas dadas tornam a equação de onda zero apenas quando a relação \omega = c\kappa (ou \omega = -c\kappa) vale. Esta relação diz que a velocidade de fase da onda é v_{\text{fase}} = \omega/\kappa = c, ou seja, as ondas viajam à velocidade da luz no vácuo. A técnica prática que você deve lembrar na prova: calcular as segundas derivadas, ver que cada uma traz um fator -\kappa^{2} ou -\omega^{2}, e exigir que os fatores se cancelem.

Resposta

E: é solução da equação de onda se \omega = \pm c\kappa (fisicamente \omega = c\kappa).
B: é solução da equação de onda se \omega = \pm c\kappa (fisicamente \omega = c\kappa).

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