Verifique por substituição que as seguintes equações são solução para as equações de onda eletromagnéticas:
em que
é a frequência angular e
o número de onda.
Passo 1
O enunciado dá os campos elétrico e magnético dependentes apenas de
e
:
O pedido é verificar, por substituição, que essas expressões são soluções das equações de onda eletromagnéticas. As informações relevantes que temos do enunciado:
- Amplitudes:
e (constantes). - Dependência espacial e temporal por
. - Parâmetros:
(frequência angular) e (número de onda).
Passo 2
Vou escrever explicitamente qual equação de onda vou verificar. Em vácuo, as equações de onda para os campos elétrico e magnético têm a forma
onde
é a velocidade da luz no vácuo. Para mostrar que um campo é solução, preciso calcular
(Laplaciano espacial) e
e verificar que a combinação acima é nula.
Vou lembrar também uma regra simples que será muito usada: a derivada de
é
e derivando novamente obtém-se fatores
ou
multiplicando a própria cóseno.
Passo 3
Calcular as derivadas espaciais de
. Como
depende só de
(além de
) e está na direção
, o Laplaciano reduz-se à segunda derivada em
:
Aplicando a derivação duas vezes a
:
Portanto
Passo 4
Calcular a derivada temporal de segunda ordem de
:
Logo
Passo 5
Agora substituo essas expressões na equação de onda para
:
Para que a combinação seja zero para todo
(isto é, para que a equação de onda seja satisfeita) é necessário e suficiente que o fator entre parênteses zere:
Esse é o chamado relacionamento de dispersão da onda eletromagnética em vácuo: velocidade de fase
igual a
.
Passo 6
Repetir o mesmo para
. Como
tem a mesma dependência funcional (mesma
), e está numa direção constante
, os cálculos análogos dão
e portanto
que também é zero exatamente quando
. Assim
também satisfaz a equação de onda sob a mesma condição de dispersão.
Passo 7
Observação física útil (opcional, mas importante para a prova): as equações de Maxwell (as equações de curl em vácuo) ligam as direções e amplitudes de
e
. Em forma harmônica complexa uma relação conveniente é
Como
, isto implica a relação de amplitude
e mostra que
,
e o vetor de propagação
são mutuamente perpendiculares, formando a tríade característica da onda eletromagnética. (Nesta verificação não foi necessário usar essa relação; foi apenas uma consequência adicional ao impor as equações completas de Maxwell.)
Resposta
Sim. Ambas satisfazem
e
desde que .
e
desde que