Verifique por substituição que as seguintes equações são solução para as equações de onda eletromagnéticas:
\begin{aligned} \vec{E} & =E_{\max } \cos (\kappa x-\omega t) \hat{j} \mathrm{~N} / \mathrm{C} \\\ \vec{B} & =B_{\max } \cos (\kappa x-\omega t) \hat{k} \mathrm{~T} \end{aligned}
em que \omega é a frequência angular e \kappa o número de onda.

Passo 1

O enunciado dá os campos elétrico e magnético dependentes apenas de x e t:
\vec{E}(x,t)=E_{\max}\cos(\kappa x-\omega t)\,\hat{j}, \qquad \vec{B}(x,t)=B_{\max}\cos(\kappa x-\omega t)\,\hat{k}.
O pedido é verificar, por substituição, que essas expressões são soluções das equações de onda eletromagnéticas. As informações relevantes que temos do enunciado:
  • Amplitudes: E_{\max} e B_{\max} (constantes).
  • Dependência espacial e temporal por \cos(\kappa x-\omega t).
  • Parâmetros: \omega (frequência angular) e \kappa (número de onda).

Passo 2

Vou escrever explicitamente qual equação de onda vou verificar. Em vácuo, as equações de onda para os campos elétrico e magnético têm a forma
\boxed{\nabla^{2}\vec{E}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=0} \qquad\text{e}\qquad \boxed{\nabla^{2}\vec{B}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}=0},
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Para mostrar que um campo é solução, preciso calcular \nabla^{2} (Laplaciano espacial) e \partial^{2}/\partial t^{2} e verificar que a combinação acima é nula.
Vou lembrar também uma regra simples que será muito usada: a derivada de \cos(\kappa x-\omega t) é
\frac{\partial}{\partial x}\cos(\kappa x-\omega t)=-\kappa\sin(\kappa x-\omega t), \qquad \frac{\partial}{\partial t}\cos(\kappa x-\omega t)=\omega\sin(\kappa x-\omega t)\cdot(-1)=-\omega\sin(\kappa x-\omega t),
e derivando novamente obtém-se fatores -\kappa^{2} ou -\omega^{2} multiplicando a própria cóseno.

Passo 3

Calcular as derivadas espaciais de \vec{E}. Como \vec{E} depende só de x (além de t) e está na direção \hat{j}, o Laplaciano reduz-se à segunda derivada em x:
\nabla^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial x^{2}}.
Aplicando a derivação duas vezes a \cos(\kappa x-\omega t):
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\cos(\kappa x-\omega t) =\frac{\partial}{\partial x}\big(-\kappa\sin(\kappa x-\omega t)\big) =-\kappa\big(\kappa\cos(\kappa x-\omega t)\big)=-\kappa^{2}\cos(\kappa x-\omega t).
Portanto
\nabla^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial x^{2}} =E_{\max}\big(-\kappa^{2}\cos(\kappa x-\omega t)\big)\,\hat{j} =-\kappa^{2}\vec{E}.

Passo 4

Calcular a derivada temporal de segunda ordem de \vec{E}:
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\cos(\kappa x-\omega t) =\frac{\partial}{\partial t}\big(-\omega\sin(\kappa x-\omega t)\big) =-\omega\big(-\omega\cos(\kappa x-\omega t)\big)=-\omega^{2}\cos(\kappa x-\omega t).
Logo
\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=E_{\max}\big(-\omega^{2}\cos(\kappa x-\omega t)\big)\,\hat{j} =-\omega^{2}\vec{E}.

Passo 5

Agora substituo essas expressões na equação de onda para \vec{E}:
\nabla^{2}\vec{E}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} = (-\kappa^{2}\vec{E}) - \dfrac{1}{c^{2}}(-\omega^{2}\vec{E}) = \left(-\kappa^{2} + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}}\right)\vec{E}.
Para que a combinação seja zero para todo x,t (isto é, para que a equação de onda seja satisfeita) é necessário e suficiente que o fator entre parênteses zere:
-\kappa^{2} + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\dfrac{\omega}{\kappa}=c.}
Esse é o chamado relacionamento de dispersão da onda eletromagnética em vácuo: velocidade de fase v=\omega/\kappa igual a c.

Passo 6

Repetir o mesmo para \vec{B}. Como \vec{B} tem a mesma dependência funcional (mesma \cos(\kappa x-\omega t)), e está numa direção constante \hat{k}, os cálculos análogos dão
\nabla^{2}\vec{B}=-\kappa^{2}\vec{B}, \qquad \frac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}=-\omega^{2}\vec{B},
e portanto
\nabla^{2}\vec{B}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}} =\left(-\kappa^{2}+\dfrac{\omega^{2}}{c^{2}}\right)\vec{B},
que também é zero exatamente quando \omega/\kappa=c. Assim \vec{B} também satisfaz a equação de onda sob a mesma condição de dispersão.

Passo 7

Observação física útil (opcional, mas importante para a prova): as equações de Maxwell (as equações de curl em vácuo) ligam as direções e amplitudes de \vec{E} e \vec{B}. Em forma harmônica complexa uma relação conveniente é
\vec{B}=\frac{\kappa}{\omega}\,\hat{x}\times\vec{E}.
Como \kappa/\omega=1/c, isto implica a relação de amplitude
\boxed{B_{\max}=\dfrac{E_{\max}}{c}},
e mostra que \vec{E}, \vec{B} e o vetor de propagação \hat{x} são mutuamente perpendiculares, formando a tríade característica da onda eletromagnética. (Nesta verificação não foi necessário usar essa relação; foi apenas uma consequência adicional ao impor as equações completas de Maxwell.)

Resposta

Sim. Ambas satisfazem
\nabla^{2}\vec{E}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=0
e
\nabla^{2}\vec{B}-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}=0
desde que \dfrac{\omega}{\kappa}=c.

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