(Unimar) A razão entre os números de lados de dois polígonos convexos é \frac{2}{3}. Juntos os ângulos internos dos dois polígonos totalizam 2880^{\circ}. Calcule o número de diagonais do polígono com o maior número de lados.
a) 54
b) 90
c) 20
d) 27
e) 35

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • A razão entre os números de lados de dois polígonos convexos é \dfrac{2}{3}.
  • Juntos os ângulos internos dos dois polígonos totalizam \,2880^\circ.
    O enunciado pede:
  • Calcular o número de diagonais do polígono com o maior número de lados (entre as opções dadas).

Passo 2

Vamos traduzir a razão para uma expressão com variáveis. Sejam:
  • n_1 o número de lados do polígono menor;
  • n_2 o número de lados do polígono maior.
    A razão dada é
\frac{n_1}{n_2}=\frac{2}{3}.
Uma forma prática é introduzir um parâmetro inteiro k tal que
n_1=2k,\qquad n_2=3k.
Isso garante a razão correta e mantém n_1,n_2 inteiros.

Passo 3

Agora precisamos usar a fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono. Esse é um ponto importante para a prova, então explico bem:
  • Para um polígono convexo com n lados, é possível dividir o polígono em n-2 triângulos a partir de um vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ. Portanto a soma dos ângulos internos do polígono é
\text{soma dos ângulos internos}=(n-2)\cdot180^\circ.â
Aqui n é o número de lados do polígono.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dois polígonos e somando:
( n_1-2)\cdot180^\circ + ( n_2-2)\cdot180^\circ = 2880^\circ.
Substituindo n_1=2k e n_2=3k obtemos
\bigl(2k-2\bigr)\cdot180^\circ + \bigl(3k-2\bigr)\cdot180^\circ = 2880^\circ.
Colocando 180^\circ em evidência:
\bigl(2k-2+3k-2\bigr)\cdot180^\circ = 2880^\circ.
Simplificando dentro do parêntese:
(5k-4)\cdot180^\circ = 2880^\circ.

Passo 5

Resolvendo a equação para k. Primeiro dividimos ambos os lados por 180^\circ:
5k-4 = \frac{2880}{180}.
Calculemos a divisão:
\frac{2880}{180}=16.
Logo
5k-4=16.
Somando 4 aos dois lados:
5k=20.
Dividindo por 5:
k=4.

Passo 6

Agora encontramos os números de lados:
n_1=2k=2\cdot4=8, \qquad n_2=3k=3\cdot4=12.
Portanto o polígono com maior número de lados tem 12 lados (um dodecágono).

Passo 7

Precisamos calcular o número de diagonais do polígono de n lados. A fórmula que normalmente se usa (e que vale a pena decorar para a prova) é:
\text{nº de diagonais}=\frac{n(n-3)}{2}.º
Explicação rápida dessa fórmula: o número de segmentos que ligam dois vértices quaisquer é \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}. Dessas \dfrac{n(n-1)}{2} conexões, n são os lados do polígono, então as diagonais ficam
\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}.

Passo 8

Aplicando a fórmula para n=12:
\text{nº de diagonais}=\frac{12(12-3)}{2}.º
Calcule passo a passo:
12-3=9,
12\cdot9=108,
\frac{108}{2}=54.

Resposta

a) 54

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