(Unimar) A razão entre os números de lados de dois polígonos convexos é
. Juntos os ângulos internos dos dois polígonos totalizam
. Calcule o número de diagonais do polígono com o maior número de lados.
a) 54
b) 90
c) 20
d) 27
e) 35
a) 54
b) 90
c) 20
d) 27
e) 35
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- A razão entre os números de lados de dois polígonos convexos é
. - Juntos os ângulos internos dos dois polígonos totalizam
.
O enunciado pede: - Calcular o número de diagonais do polígono com o maior número de lados (entre as opções dadas).
Passo 2
Vamos traduzir a razão para uma expressão com variáveis. Sejam:
-
o número de lados do polígono menor; -
o número de lados do polígono maior.
A razão dada é
Uma forma prática é introduzir um parâmetro inteiro
tal que
Isso garante a razão correta e mantém
inteiros.
Passo 3
Agora precisamos usar a fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono. Esse é um ponto importante para a prova, então explico bem:
- Para um polígono convexo com
lados, é possível dividir o polígono em triângulos a partir de um vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a . Portanto a soma dos ângulos internos do polígono é
Aqui
é o número de lados do polígono.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dois polígonos e somando:
Substituindo
e
obtemos
Colocando
em evidência:
Simplificando dentro do parêntese:
Passo 5
Resolvendo a equação para
. Primeiro dividimos ambos os lados por
:
Calculemos a divisão:
Logo
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 6
Agora encontramos os números de lados:
Portanto o polígono com maior número de lados tem
lados (um dodecágono).
Passo 7
Precisamos calcular o número de diagonais do polígono de
lados. A fórmula que normalmente se usa (e que vale a pena decorar para a prova) é:
Explicação rápida dessa fórmula: o número de segmentos que ligam dois vértices quaisquer é
. Dessas
conexões,
são os lados do polígono, então as diagonais ficam
Passo 8
Aplicando a fórmula para
:
Calcule passo a passo:
Resposta
a) 54