Reduzindo à metade o número de lados de um polígono, a diferença entre o número de diagonais do polígono original e do novo polígono é igual a 30 . O número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original é igual a:
a) 25 .
b) 29 .
c) 33 .
d) 37 .
e) 43

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Um polígono original tem n lados.
    • Foi feito um novo polígono reduzindo à metade o número de lados, ou seja, o novo polígono tem \dfrac{n}{2} lados. (Portanto n é par.)
    • A diferença entre o número de diagonais do polígono original e do novo polígono vale 30.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original (isto é, quantas diagonais têm pelo menos uma extremidade entre esses quatro vértices consecutivos).

Passo 2

Recordando e explicando a fórmula do número total de diagonais de um polígono de n lados.
  • Raciocínio: de um vértice de um polígono de n lados pode-se traçar diagonais para todos os outros vértices exceto ele próprio e seus dois vizinhos (arestas). Assim, de cada vértice há n-3 diagonais possíveis.
  • Se somarmos n-3 sobre os n vértices obtemos n(n-3), porém cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez em cada extremidade). Por isso dividimos por 2.
  • Portanto, o número total de diagonais de um polígono de n lados é
D(n)=\frac{n(n-3)}{2}.
Aqui D(n) é o número total de diagonais do polígono com n lados.

Passo 3

Montar a equação que traduz a diferença pedida e simplificá-la.
  • A condição do enunciado é
D(n)-D\!\left(\frac{n}{2}\right)=30.
  • Substituindo a fórmula:
\frac{n(n-3)}{2}-\frac{\tfrac{n}{2}\!\left(\tfrac{n}{2}-3\right)}{2}=30.
  • Multiplicando ambos os lados por 2:
n(n-3)-\frac{n}{2}\!\left(\frac{n}{2}-3\right)=60.
  • Desenvolvendo o segundo termo:
\frac{n}{2}\!\left(\frac{n}{2}-3\right)=\frac{n^2}{4}-\frac{3n}{2}.
  • Então
n(n-3)-\left(\frac{n^2}{4}-\frac{3n}{2}\right)=60.
  • Agrupando termos:
n^2-3n-\frac{n^2}{4}+\frac{3n}{2}=60.
  • Colocando em comum:
\frac{3}{4}n^2-\frac{3}{2}n=60.
  • Fatorando \dfrac{3}{4}n(n-2)=60, portanto
n(n-2)=60\cdot\frac{4}{3}=80.
  • Isso gera a equação quadrática
n^2-2n-80=0.

Passo 4

Resolver a quadrática para obter n.
  • Discriminante:
\Delta = (-2)^2-4\cdot1\cdot(-80)=4+320=324=18^2.
  • Raízes:
n=\frac{2\pm18}{2}.
  • As soluções são n=\dfrac{20}{2}=10 e n=\dfrac{-16}{2}=-8. Descartamos n=-8 (não faz sentido como número de lados).
  • Portanto o polígono original tem n=10 lados. (Isso é compatível com a condição de n ser par e n\ge 6.)

Passo 5

Calcular o número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original — explicando cuidadosamente como contar sem erros de contagem dupla.
  • Primeiro, quantas diagonais saem de um vértice qualquer do polígono de n lados? Já vimos que são n-3.
  • Se considerarmos quatro vértices consecutivos (conjunto S com 4 vértices), somando as diagonais saindo de cada um temos 4(n-3). Nesse somatório, as diagonais que têm as duas extremidades dentro de S foram contadas duas vezes (uma vez em cada extremidade); as diagonais que ligam um vértice de S a um vértice fora de S foram contadas somente uma vez.
  • Então, para obter o número distinto de diagonais que têm pelo menos uma extremidade em S, devemos subtrair do somatório uma unidade para cada diagonal que foi contada em duplicidade (i.e., cada diagonal com as duas extremidades em S).
  • Quantas diagonais existem cujas duas extremidades estão dentro desses quatro vértices consecutivos? Entre quatro vértices há \binom{4}{2}=6 pares de vértices; desses 6 pares, 3 são arestas consecutivas do polígono (não são diagonais) e os outros 6-3=3 pares correspondem a diagonais internas ao bloco de quatro vértices. Logo existem exatamente 3 diagonais com as duas extremidades em S.
  • Portanto o número pedido é
\text{diagonais a partir dos 4 vértices} = 4(n-3) - 3.é
  • Simplificando:
4(n-3)-3=4n-12-3=4n-15.

Passo 6

Aplicar n=10 na fórmula encontrada.
  • Substituindo:
4n-15=4\cdot10-15=40-15=25.

Resposta

a) 25.

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