Reduzindo à metade o número de lados de um polígono, a diferença entre o número de diagonais do polígono original e do novo polígono é igual a 30 . O número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original é igual a:
a) 25 .
b) 29 .
c) 33 .
d) 37 .
e) 43
a) 25 .
b) 29 .
c) 33 .
d) 37 .
e) 43
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Um polígono original tem
lados. - Foi feito um novo polígono reduzindo à metade o número de lados, ou seja, o novo polígono tem
lados. (Portanto é par.) - A diferença entre o número de diagonais do polígono original e do novo polígono vale
.
- Um polígono original tem
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original (isto é, quantas diagonais têm pelo menos uma extremidade entre esses quatro vértices consecutivos).
Passo 2
Recordando e explicando a fórmula do número total de diagonais de um polígono de
lados.
- Raciocínio: de um vértice de um polígono de
lados pode-se traçar diagonais para todos os outros vértices exceto ele próprio e seus dois vizinhos (arestas). Assim, de cada vértice há diagonais possíveis. - Se somarmos
sobre os vértices obtemos , porém cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez em cada extremidade). Por isso dividimos por . - Portanto, o número total de diagonais de um polígono de
lados é
Aqui
é o número total de diagonais do polígono com
lados.
Passo 3
Montar a equação que traduz a diferença pedida e simplificá-la.
- A condição do enunciado é
- Substituindo a fórmula:
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Desenvolvendo o segundo termo:
- Então
- Agrupando termos:
- Colocando em comum:
- Fatorando
, portanto
- Isso gera a equação quadrática
Passo 4
Resolver a quadrática para obter
.
- Discriminante:
- Raízes:
- As soluções são
e . Descartamos (não faz sentido como número de lados). - Portanto o polígono original tem
lados. (Isso é compatível com a condição de ser par e .)
Passo 5
Calcular o número de diagonais traçadas de quatro vértices consecutivos do polígono original — explicando cuidadosamente como contar sem erros de contagem dupla.
- Primeiro, quantas diagonais saem de um vértice qualquer do polígono de
lados? Já vimos que são . - Se considerarmos quatro vértices consecutivos (conjunto
com 4 vértices), somando as diagonais saindo de cada um temos . Nesse somatório, as diagonais que têm as duas extremidades dentro de foram contadas duas vezes (uma vez em cada extremidade); as diagonais que ligam um vértice de a um vértice fora de foram contadas somente uma vez. - Então, para obter o número distinto de diagonais que têm pelo menos uma extremidade em
, devemos subtrair do somatório uma unidade para cada diagonal que foi contada em duplicidade (i.e., cada diagonal com as duas extremidades em ). - Quantas diagonais existem cujas duas extremidades estão dentro desses quatro vértices consecutivos? Entre quatro vértices há
pares de vértices; desses 6 pares, 3 são arestas consecutivas do polígono (não são diagonais) e os outros pares correspondem a diagonais internas ao bloco de quatro vértices. Logo existem exatamente diagonais com as duas extremidades em . - Portanto o número pedido é
- Simplificando:
Passo 6
Aplicar
na fórmula encontrada.
- Substituindo:
Resposta
a) 25.