- Um polígono convexo que possua exatamente 170 diagonais é formado por quantos lados?
a) 10 lados
b) 13 lados
c) 15 lados
d) 17 lados
e) 20 lados
a) 10 lados
b) 13 lados
c) 15 lados
d) 17 lados
e) 20 lados
Passo 1
O enunciado dá que um polígono convexo possui exatamente
diagonais e pergunta quantos lados esse polígono tem.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Número de diagonais do polígono:
. - Quer-se o número de lados, denotado por
.
Passo 2
Vamos entender o que é uma diagonal e como contar quantas diagonais um polígono com
lados tem (essa é a ferramenta que vamos usar na prova).
Definição: uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.
Definição: uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.
Contagem passo a passo:
- De um vértice qualquer, é possível ligar esse vértice a todos os demais vértices, exceto a ele mesmo e os dois vértices adjacentes (pois esses seriam os lados, não diagonais). Então, de cada vértice saem
diagonais. - Como há
vértices, contando assim obtemos segmentos. Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Portanto o número total de diagonais , é dado por:
Aqui:
-
é o número de lados (também número de vértices), -
é o número de diagonais.
Passo 3
Agora usamos a informação do enunciado:
. Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
onde
,
,
. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada de
é
, pois
. Assim as raízes são
Isso dá duas soluções:
e
. Como
é número de lados, deve ser positivo, então descartamos
e ficamos com
.
Passo 5
Verificação rápida (sempre boa prática): para
,
confirma o valor pedido. Boa — está consistente.
Resposta
e)
lados