1. Um polígono convexo que possua exatamente 170 diagonais é formado por quantos lados?
    a) 10 lados
    b) 13 lados
    c) 15 lados
    d) 17 lados
    e) 20 lados

Passo 1

O enunciado dá que um polígono convexo possui exatamente 170 diagonais e pergunta quantos lados esse polígono tem.
Informações relevantes:
  • Número de diagonais do polígono: 170.
  • Quer-se o número de lados, denotado por n.

Passo 2

Vamos entender o que é uma diagonal e como contar quantas diagonais um polígono com n lados tem (essa é a ferramenta que vamos usar na prova).
Definição: uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.
Contagem passo a passo:
  • De um vértice qualquer, é possível ligar esse vértice a todos os demais vértices, exceto a ele mesmo e os dois vértices adjacentes (pois esses seriam os lados, não diagonais). Então, de cada vértice saem \,n-3 diagonais.
  • Como há n vértices, contando assim obtemos n(n-3) segmentos. Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Portanto o número total de diagonais \,D, é dado por:
D=\frac{n(n-3)}{2}.
Aqui:
  • n é o número de lados (também número de vértices),
  • D é o número de diagonais.

Passo 3

Agora usamos a informação do enunciado: D=170. Substituindo na fórmula:
\frac{n(n-3)}{2}=170.
Multiplicando ambos os lados por 2:
n(n-3)=340.
Expandindo:
n^2-3n-340=0.

Passo 4

Para resolver a equação quadrática n^2-3n-340=0 usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação \,an^2+bn+c=0, as raízes são
n=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-3, c=-340. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac = (-3)^2-4\cdot1\cdot(-340)=9+1360=1369.
A raiz quadrada de 1369 é 37, pois 37\cdot37=1369. Assim as raízes são
n=\frac{3\pm37}{2}.
Isso dá duas soluções: n=\dfrac{3+37}{2}=\dfrac{40}{2}=20 e n=\dfrac{3-37}{2}=\dfrac{-34}{2}=-17. Como n é número de lados, deve ser positivo, então descartamos -17 e ficamos com n=20.

Passo 5

Verificação rápida (sempre boa prática): para n=20,
D=\frac{20(20-3)}{2}=\frac{20\cdot17}{2}=10\cdot17=170,
confirma o valor pedido. Boa — está consistente.

Resposta

e) 20 lados

Exercícios relacionados