(UNITAU) O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o:
a) dodecágono.
b) pentágono.
c) decágono.
d) hexágono.
e) heptágono
a) dodecágono.
b) pentágono.
c) decágono.
d) hexágono.
e) heptágono
Passo 1
O enunciado pede que se identifique qual polígono regular convexo, dentre as alternativas, satisfaz que o número de lados é igual ao número de diagonais. Informações dadas:
- Queremos um polígono regular convexo com número de lados igual ao número de diagonais.
- Alternativas:
a) dodecágono
b) pentágono
c) decágono
d) hexágono
e) heptágono
Passo 2
Primeiro vamos aprender a contar o número de diagonais de um polígono de maneira clara e simples — isso é essencial para resolver o problema na prova.
Definição e ideia básica:
- Num polígono com
vértices (ou lados), qualquer segmento que liga dois vértices é ou um lado ou uma diagonal. - O número total de segmentos que ligam dois vértices quaisquer é o número de maneiras de escolher 2 vértices entre
, isto é .
Fórmula do número de pares de vértices:
Explicação:
conta quantos pares distintos de vértices existem; para cada par existe um segmento.
Como obter só as diagonais:
- Dos
segmentos, deles são lados (cada lado liga vértices consecutivos). Logo o número de diagonais é
Simplificando essa expressão:
Outra maneira (intuitiva) de ver isso: de cada vértice saem
diagonais (não pode ligar ao próprio vértice nem aos dois vizinhos), somando
, e como cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez de cada extremidade) divide-se por
, chegando em
. Ambas as justificativas dão a mesma fórmula.
Resumo útil a decorar para prova:
- Número de diagonais de um polígono com
lados:
Passo 3
Agora aplicamos a condição do enunciado: o número de lados
é igual ao número de diagonais
. Escrevendo isso em forma de equação:
Resolver passo a passo:
- Multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
- Desenvolver o lado direito:
- Colocar todos os termos num lado (subtrair
de ambos os lados):
- Colocar em fator comum:
- Soluções da equação são
ou . Como representa o número de lados de um polígono, deve ser um inteiro positivo com . Portanto descartamos e aceitamos
Passo 4
Verificação rápida (para ficar tranquilo na prova): calcular o número de diagonais com
usando a fórmula
Portanto um polígono com
lados (pentágono) tem exatamente
diagonais — satisfaz a condição do enunciado.
Resposta
b) pentágono.