(UNITAU) O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o:
a) dodecágono.
b) pentágono.
c) decágono.
d) hexágono.
e) heptágono

Passo 1

O enunciado pede que se identifique qual polígono regular convexo, dentre as alternativas, satisfaz que o número de lados é igual ao número de diagonais. Informações dadas:
  • Queremos um polígono regular convexo com número de lados igual ao número de diagonais.
  • Alternativas:
    a) dodecágono
    b) pentágono
    c) decágono
    d) hexágono
    e) heptágono

Passo 2

Primeiro vamos aprender a contar o número de diagonais de um polígono de maneira clara e simples — isso é essencial para resolver o problema na prova.
Definição e ideia básica:
  • Num polígono com n vértices (ou n lados), qualquer segmento que liga dois vértices é ou um lado ou uma diagonal.
  • O número total de segmentos que ligam dois vértices quaisquer é o número de maneiras de escolher 2 vértices entre n, isto é \binom{n}{2}.
Fórmula do número de pares de vértices:
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
Explicação: \binom{n}{2} conta quantos pares distintos de vértices existem; para cada par existe um segmento.
Como obter só as diagonais:
  • Dos \binom{n}{2} segmentos, n deles são lados (cada lado liga vértices consecutivos). Logo o número de diagonais D é
D=\binom{n}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}-n.
Simplificando essa expressão:
D=\frac{n(n-1)-2n}{2}=\frac{n(n-3)}{2}.
Outra maneira (intuitiva) de ver isso: de cada vértice saem n-3 diagonais (não pode ligar ao próprio vértice nem aos dois vizinhos), somando n(n-3), e como cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez de cada extremidade) divide-se por 2, chegando em \dfrac{n(n-3)}{2}. Ambas as justificativas dão a mesma fórmula.
Resumo útil a decorar para prova:
  • Número de diagonais de um polígono com n lados:
D=\frac{n(n-3)}{2}.

Passo 3

Agora aplicamos a condição do enunciado: o número de lados n é igual ao número de diagonais D. Escrevendo isso em forma de equação:
n=\frac{n(n-3)}{2}.
Resolver passo a passo:
  1. Multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2n = n(n-3).
  1. Desenvolver o lado direito:
2n = n^2 - 3n.
  1. Colocar todos os termos num lado (subtrair 2n de ambos os lados):
0 = n^2 - 3n - 2n = n^2 - 5n.
  1. Colocar em fator comum:
0 = n(n-5).
  1. Soluções da equação são n=0 ou n=5. Como n representa o número de lados de um polígono, deve ser um inteiro positivo com n\ge 3. Portanto descartamos n=0 e aceitamos
n=5.

Passo 4

Verificação rápida (para ficar tranquilo na prova): calcular o número de diagonais com n=5 usando a fórmula
D=\frac{n(n-3)}{2}=\frac{5(5-3)}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=5.
Portanto um polígono com 5 lados (pentágono) tem exatamente 5 diagonais — satisfaz a condição do enunciado.

Resposta

b) pentágono.

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