(Unirio 95) Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm , construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2 cm . Construímos um terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2 cm e o outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se continuarmos a construir triângulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 15 triângulo medirá:
a) 15 cm .
b)
.
c) 14 cm .
d) 8 cm .
e)
.
a) 15 cm .
b)
c) 14 cm .
d) 8 cm .
e)
Passo 1
O enunciado descreve uma cadeia de triângulos retângulos onde, em cada um deles, um dos catetos mede sempre
cm e o outro cateto “apoia-se” na hipotenusa do triângulo anterior. Precisamos encontrar o comprimento da hipotenusa do
º triângulo. O que vamos usar é a relação de Pitágoras e depois obter uma fórmula geral por recorrência.
Passo 2
Calcular a hipotenusa do primeiro triângulo. Como os catetos medem ambos
cm, pela relação de Pitágoras:
Passo 3
Obter a relação de recorrência para a hipotenusa
do
º triângulo. Em cada passo o novo triângulo tem catetos de comprimento
e
, logo
Passo 4
Resolver a recorrência em geral. Observe que
e portanto, somando sucessivamente,
Logo
Para
temos
Resposta
d)
cm.