(Unirio 95) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57 cm , podemos afirmar que o maior cateto mede:
a) 17 cm
b) 19 cm
c) 20 cm
d) 23 cm
e) 27 cm

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos três lados estão em progressão aritmética e cujo perímetro vale 57 cm. Queremos encontrar o maior cateto. Para isso vamos usar a ideia de progressão aritmética (PA) e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Sejam os três lados da PA a, b e c, em que a é o menor cateto, b o maior cateto e c a hipotenusa. Como estão em PA, podemos escrever
a = x - d,\quad b = x,\quad c = x + d
para algum x (o termo médio) e razão d>0.

Passo 3

O perímetro é
(a)+(b)+\text{(c)} = (x-d) + x + (x+d) = 3x.
Como o perímetro vale 57 cm, temos
3x = 57 \quad\Longrightarrow\quad x = 19.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras:
(a)^2 + (b)^2 = \text{(c)}^2 \quad\Longrightarrow\quad (x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2.
Expandindo,
(x^2 - 2xd + d^2) + x^2 = x^2 + 2xd + d^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2xd + d^2 = x^2 + 2xd + d^2
\Longrightarrow\quad x^2 = 4xd \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{x}{4} = \frac{19}{4}.
Isso mostra que existe uma PA positiva compatível com Pitágoras.

Passo 5

Como o maior cateto é o termo médio da PA, temos
b = x = 19\text{ cm}.

Resposta

19\text{ cm}

Exercícios relacionados