(Unirio 95) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57 cm , podemos afirmar que o maior cateto mede:
a) 17 cm
b) 19 cm
c) 20 cm
d) 23 cm
e) 27 cm
a) 17 cm
b) 19 cm
c) 20 cm
d) 23 cm
e) 27 cm
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos três lados estão em progressão aritmética e cujo perímetro vale 57 cm. Queremos encontrar o maior cateto. Para isso vamos usar a ideia de progressão aritmética (PA) e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Sejam os três lados da PA
,
e
, em que
é o menor cateto,
o maior cateto e
a hipotenusa. Como estão em PA, podemos escrever
para algum
(o termo médio) e razão
.
Passo 3
O perímetro é
Como o perímetro vale 57 cm, temos
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras:
Expandindo,
Isso mostra que existe uma PA positiva compatível com Pitágoras.
Passo 5
Como o maior cateto é o termo médio da PA, temos