(Unirio 95) Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm , construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2 cm . Construímos um terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2 cm e o outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se continuarmos a construir triângulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 15 triângulo medirá:
a) 15 cm .
b) 15 \sqrt{ } 2 \mathrm{~cm}.
c) 14 cm .
d) 8 cm .
e) 8 \sqrt{ } 2 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve uma cadeia de triângulos retângulos onde, em cada um deles, um dos catetos mede sempre 2 cm e o outro cateto “apoia-se” na hipotenusa do triângulo anterior. Precisamos encontrar o comprimento da hipotenusa do 15º triângulo. O que vamos usar é a relação de Pitágoras e depois obter uma fórmula geral por recorrência.

Passo 2

Calcular a hipotenusa do primeiro triângulo. Como os catetos medem ambos 2 cm, pela relação de Pitágoras:
h_{1} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}.

Passo 3

Obter a relação de recorrência para a hipotenusa h_{n} do nº triângulo. Em cada passo o novo triângulo tem catetos de comprimento 2 e h_{n-1}, logo
h_{n} = \sqrt{2^{2} + \bigl(h_{n-1}\bigr)^{2}} =\sqrt{4 + h_{n-1}^{2}}.

Passo 4

Resolver a recorrência em geral. Observe que
h_{n}^{2} = h_{n-1}^{2} + 4
e portanto, somando sucessivamente,
h_{n}^{2} = h_{1}^{2} + 4(n-1) = \bigl(2\sqrt{2}\bigr)^{2} + 4(n-1) = 8 + 4(n-1) =4(n+1).
Logo
h_{n} = 2\sqrt{\,n+1\,}.
Para n=15 temos
h_{15} = 2\sqrt{16} = 2\cdot4 = 8\text{ cm}.

Resposta

d) 8 cm.

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