Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Ciência, Tecnologia e Inovação - ICTI
Campus Carlos Marighella - Camaçari - BA
Curso de Bacharelado Interdisciplinar - BI
Aluno (a):
Disciplina: Estatística Aplicada à Ciência, Tecnologia e Inovação
Professor: Dr. Manoel Rivelino Gomes de Oliveira
Data:

2^ a VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM <br> Orientações:

  • A prova deve ser enviada em arquivo pdf pelo Moodle até as 17:59 horas de 10/01/2025.
  • A prova será INDIVIDUAL.
  • Não será permitida a comunicação entre os alunos.
  • Será permitido o uso de CALCULADORA.
  • TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER JUSTIFICADAS com explicações teóricas e/ou cálculos numéricos, INCLUSIVE AS DE MÚLTIPLA ESCOLHA. JUSTIFICATIVA (apenas a resposta, sem o cálculo, não será aceita).
  • Questões numéricas SOMENTE SERÃO ACEITAS COM OS CÁLCULOS de modo explícito.
  • TODAS as respostas devem ser escritas com CANETA azul ou preta.
    BOA PROVA!
    Questão 1. (10 pontos) Um estudo sobre duração de certas operações está investigando o tempo requerido (em segundos) para acondicionar objetos e o volume (em dm³) que eles ocupam. Uma amostra foi observada e obtiveram-se os seguintes resultados:
Tempo (y) 10,8 14,4 19,6 18,0 8,4 15,2 11,0 13,3 23,1
Volume (x) 20,39 24,92 34,84 31,72 13,59 30,87 17,84 23,22 39,65
Obtenha a reta de regressão e desenhe sobre o diagrama em (b);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a reta de regressão que relaciona o Tempo (y) com o Volume (x), usando os dados fornecidos. Isso faz parte do conteúdo de Estatística Aplicada, mais especificamente de Regressão Linear. Para resolver, vamos precisar calcular a equação da reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, aquela que minimiza a soma dos quadrados dos erros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta de regressão. É uma linha que tenta representar a relação entre duas variáveis, neste caso, o Volume (x) e o Tempo (y). A equação geral dessa reta é:
y = a + b x
Onde:
  • a é o coeficiente linear (intercepto)
  • b é o coeficiente angular (inclinação)

Passo 3

Para encontrar os valores de a e b, usamos as seguintes fórmulas:
b = N sum (x y) - sum x sum yN sum (x^2) - (sum x)^2
a = sum y - b sum xN
Onde N é o número de observações.

Passo 4

Vamos organizar os dados fornecidos:
Tempo (y) 10,8 14,4 19,6 18,0 8,4 15,2 11,0 13,3 23,1
Volume (x) 20,39 24,92 34,84 31,72 13,59 30,87 17,84 23,22 39,65
Primeiro, vamos calcular os seguintes valores:
  • Soma de x ($ \sum x $)
  • Soma de y ($ \sum y $)
  • Soma de x² ($ \sum x^2 $)
  • Soma de x*y ($ \sum x y $)
  • Número de observações (N)

Passo 5

Calculando cada soma:
  1. $ \sum x $:
$ 20,39 + 24,92 + 34,84 + 31,72 + 13,59 + 30,87 + 17,84 + 23,22 + 39,65 = 236,00 $ dm³
  1. $ \sum y $:
$ 10,8 + 14,4 + 19,6 + 18,0 + 8,4 + 15,2 + 11,0 + 13,3 + 23,1 = 133,8 $ segundos
  1. $ \sum x^2 $:
$ (20,39)^2 + (24,92)^2 + (34,84)^2 + (31,72)^2 + (13,59)^2 + (30,87)^2 + (17,84)^2 + (23,22)^2 + (39,65)^2 $
Vamos calcular cada um:
  • $ 20,39^2 = 415,75 $
  • $ 24,92^2 = 621,00 $
  • $ 34,84^2 = 1212,25 $
  • $ 31,72^2 = 1004,72 $
  • $ 13,59^2 = 184,61 $
  • $ 30,87^2 = 953,24 $
  • $ 17,84^2 = 318,26 $
  • $ 23,22^2 = 538,25 $
  • $ 39,65^2 = 1581,62 $
Somando todos:
$ 415,75 + 621,00 + 1212,25 + 1004,72 + 184,61 + 953,24 + 318,26 + 538,25 + 1581,62 = 7229,70 $
  1. $ \sum x y $:
$ (20,39)(10,8) + (24,92)(14,4) + (34,84)(19,6) + (31,72)(18,0) + (13,59)(8,4) + (30,87)(15,2) + (17,84)(11,0) + (23,22)(13,3) + (39,65)(23,1) $
Calculando cada termo:
  • $ 20,39 \times 10,8 = 219,23 $
  • $ 24,92 \times 14,4 = 359,89 $
  • $ 34,84 \times 19,6 = 682,82 $
  • $ 31,72 \times 18,0 = 570,96 $
  • $ 13,59 \times 8,4 = 114,04 $
  • $ 30,87 \times 15,2 = 468,62 $
  • $ 17,84 \times 11,0 = 196,24 $
  • $ 23,22 \times 13,3 = 308,83 $
  • $ 39,65 \times 23,1 = 916,82 $
Somando todos:
$ 219,23 + 359,89 + 682,82 + 570,96 + 114,04 + 468,62 + 196,24 + 308,83 + 916,82 = 4255,45 $
  1. Número de observações (N):
Temos 9 pares de dados.

Passo 6

Agora, substituímos os valores nas fórmulas para encontrar b e a.
Primeiro, calculamos b:
b = N sum (x y) - sum x sum yN sum (x^2) - (sum x)^2
Substituindo:
b = 9 times 4255,45 - 236,00 times 133,89 times 7229,70 - (236,00)^2
Calculando o numerador:
$ 9 \times 4255,45 = 38,298,05 $
$ 236,00 \times 133,8 = 31,648,8 $
Então:
$ 38,298,05 - 31,648,8 = 6,649,25 $
Calculando o denominador:
$ 9 \times 7229,70 = 65,067,3 $
$ (236,00)^2 = 55,696,0 $
Então:
$ 65,067,3 - 55,696,0 = 9,371,3 $
Agora:
9 times 4255,45 = 38,298,05

Passo 7

Agora, vamos calcular a usando a fórmula:
a = sum y - b sum xN
Substituindo os valores:
a = 133,8 - 0,709 times 236,009
Calculando:
$ 0,709 \times 236,00 = 167,084 $
Então:
$ 133,8 - 167,084 = -33,284 $
Dividindo por 9:
$ \frac{-33,284}{9} \approx -3,698 $

Resposta

A equação da reta de regressão é:
y = -3,698 + 0,709,x

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