Para determinar a altura de uma árvore, um sábio do século VI ensinou a seus discípulos um método que aplicava trigonometria. A distância entre o tronco da árvore e o ponto de observação foi determinada como (15,2 pm 0,2) m. O ângulo que o ponto mais alto da árvore formava com a horizontal, medido junto ao solo, foi de (48,6 pm 0,8)^circ. O que pode ser dito acerca da altura desta árvore? O que deve ser feito para reduzir a incerteza da medição da altura desta árvore: melhorar a incerteza da medição da distância até a árvore ou o seu ângulo?

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve trigonometria para encontrar a altura de uma árvore. A gente vai precisar usar a distância entre o observador e a árvore, o ângulo de inclinação observado, e entender como calcular a altura usando essas informações. Além disso, vamos analisar como as incertezas nas medições afetam o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que você está observando a árvore de um ponto no chão. A distância horizontal entre você e a árvore é de (15,2 pm 0,2) m, e o ângulo que seu olhar faz com a horizontal até o topo da árvore é de (48,6 pm 0,8)^circ.

Passo 3

Para encontrar a altura da árvore, podemos usar a função tangente na trigonometria. A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto (altura da árvore, que queremos encontrar) e o cateto adjacente (distância até a árvore). A fórmula fica assim:
tan(theta) = aâ
Onde:
  • theta = 48,6^circ
  • distância d = 15,2 , m
Rearranjando a fórmula para encontrar a altura ( h):
h = d cdot tan(theta)

Passo 4

Vamos calcular o valor da tangente do ângulo:
tan(48,6^circ) approx 1,122
Agora, multiplicamos pela distância para encontrar a altura:
h = 15,2 , m times 1,122 approx 17,06 , m

Passo 5

Agora, vamos considerar as incertezas nas medições. Para isso, usamos a propagação de incertezas. A fórmula para a incerteza na altura ( De) é dada por:
De
Onde:
  • De
  • De
Calculando cada parte:
De
sec^2(48,6^circ) = 1 + tan^2(48,6^circ) approx 2,26
De
Convertendo graus para radianos para usar na fórmula:
1,81^circ approx 0,0316 , radianos
Agora, calculamos a incerteza total:
De

Resposta

A altura da árvore é aproximadamente 17,06 pm 0,56 , m. Para reduzir a incerteza nessa medição, é melhor melhorar a precisão da medição da distância até a árvore. Isso porque a incerteza relativa na distância contribui mais significativamente para a incerteza final na altura do que a incerteza no ângulo.

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