Para determinar a altura de uma árvore, um sábio do século VI ensinou a seus discípulos um método que aplicava trigonometria. A distância entre o tronco da árvore e o ponto de observação foi determinada como
. O ângulo que o ponto mais alto da árvore formava com a horizontal, medido junto ao solo, foi de
. O que pode ser dito acerca da altura desta árvore? O que deve ser feito para reduzir a incerteza da medição da altura desta árvore: melhorar a incerteza da medição da distância até a árvore ou o seu ângulo?
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que envolve trigonometria para encontrar a altura de uma árvore. A gente vai precisar usar a distância entre o observador e a árvore, o ângulo de inclinação observado, e entender como calcular a altura usando essas informações. Além disso, vamos analisar como as incertezas nas medições afetam o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que você está observando a árvore de um ponto no chão. A distância horizontal entre você e a árvore é de
, e o ângulo que seu olhar faz com a horizontal até o topo da árvore é de
.
Passo 3
Para encontrar a altura da árvore, podemos usar a função tangente na trigonometria. A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto (altura da árvore, que queremos encontrar) e o cateto adjacente (distância até a árvore). A fórmula fica assim:
Onde:
-
- distância
Rearranjando a fórmula para encontrar a altura (
):
Passo 4
Vamos calcular o valor da tangente do ângulo:
Agora, multiplicamos pela distância para encontrar a altura:
Passo 5
Agora, vamos considerar as incertezas nas medições. Para isso, usamos a propagação de incertezas. A fórmula para a incerteza na altura (
) é dada por:
Onde:
Calculando cada parte:
Convertendo graus para radianos para usar na fórmula:
Agora, calculamos a incerteza total:
Resposta
A altura da árvore é aproximadamente
. Para reduzir a incerteza nessa medição, é melhor melhorar a precisão da medição da distância até a árvore. Isso porque a incerteza relativa na distância contribui mais significativamente para a incerteza final na altura do que a incerteza no ângulo.