Universidade Federal do Piauí - UFPI
Mostre que
\hat{A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\hat{A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}.
Informações dadas (implícitas):
  • Há um vetor \vec{A} arbitrário, que vou assumir não-nulo: \vec{A}\neq\vec{0} (caso contrário não dá para dividir por |\vec{A}|).
  • A notação \hat{A} costuma significar “o vetor unitário na direção de \vec{A}”. Então a tarefa é mostrar que a expressão à direita realmente fornece esse vetor unitário (mesma direção de \vec{A} e magnitude 1).

Passo 2

Definições e lembretes que vou usar (explicando como se fosse um mini-aula):
  • Magnitude (norma) de um vetor: para um vetor em 3D \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) define-se
|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.
Em dimensão n é análogo: raiz da soma dos quadrados das componentes.
  • Vetor unitário: um vetor \hat{u} é dito unitário se sua magnitude for 1, isto é |\hat{u}|=1. Quando dizemos “o vetor unitário na direção de \vec{A}” queremos um vetor que:
    1. Tenha magnitude 1;
    2. Seja paralelo a \vec{A} e aponte na mesma direção (não invertida).

Passo 3

Propriedade útil (com explicação): multiplicar um vetor por um escalar altera sua magnitude segundo
|\lambda \vec{v}|=|\lambda|\,|\vec{v}|.
Prova rápida dessa propriedade (muito usada): pelo produto interno,
|\lambda \vec{v}|^2=(\lambda \vec{v})\cdot(\lambda \vec{v})=\lambda^2(\vec{v}\cdot\vec{v})=\lambda^2|\vec{v}|^2,
logo tomando raiz positiva obtemos |\lambda \vec{v}|=|\lambda|\,|\vec{v}|. Isso significa, por exemplo, que multiplicar por um escalar positivo apenas escala o comprimento, sem inverter a direção.

Passo 4

Calcular a magnitude do vetor \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} usando a propriedade anterior, tomando \lambda=\dfrac{1}{|\vec{A}|} e \vec{v}=\vec{A}:
\left|\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}\right| = \left|\frac{1}{|\vec{A}|}\,\vec{A}\right| = \left|\frac{1}{|\vec{A}|}\right|\,|\vec{A}| = \frac{1}{|\vec{A}|}\,|\vec{A}| =1.
Aqui usei que |1/|\vec{A}||=1/|\vec{A}| porque |\vec{A}|>0. Portanto a expressão dada tem magnitude 1: satisfaz a condição (1) de vetor unitário.

Passo 5

Mostrar que \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} tem a mesma direção de \vec{A}: é imediato porque é um múltiplo escalar de \vec{A}:
\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\left(\frac{1}{|\vec{A}|}\right)\vec{A}.
Multiplicar \vec{A} por um escalar positivo \dfrac{1}{|\vec{A}|} não muda a direção do vetor, apenas seu comprimento. Como o escalar é positivo, a direção permanece exatamente a mesma (se o escalar fosse negativo a direção se inverteria). Logo a condição (2) de “mesma direção e mesmo sentido” também é satisfeita.

Passo 6

Verificação componente-a-componente (para fixar bem a ideia, exemplo concreto): se \vec{A}=(A_x,A_y) em 2D, então
\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\left(\frac{A_x}{|\vec{A}|},\frac{A_y}{|\vec{A}|}\right).
Exemplo numérico simples: \vec{A}=(3,4) tem |\vec{A}|=\sqrt{3^2+4^2}=5, então
\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right),
cuja magnitude é \sqrt{(3/5)^2+(4/5)^2}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{25/25}=1 e claramente aponta na mesma direção que (3,4). Isso ajuda a “ver” a relação na prática.

Passo 7

Caso degenerado: se \vec{A}=\vec{0} então |\vec{A}|=0 e a expressão \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} não está definida (divisão por zero). Por isso a igualdade só faz sentido para vetores não-nulos; normalmente diz-se “o vetor unitário na direção de \vec{A}, para \vec{A}\neq\vec{0}, é \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|}.”

Passo 8

Conclusão (razão final): a expressão \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} é um vetor paralelo a \vec{A} (mesma direção e sentido) e tem magnitude 1. Pelo que definimos como “vetor unitário na direção de \vec{A}”, ela é exatamente \hat{A}. Portanto mostramos que
\hat{A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|},
para \vec{A}\neq\vec{0}. Força aí — agora você já consegue normalizar qualquer vetor na prova sem mistério!

Resposta

\hat{A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}

Exercícios relacionados