Há um vetor \vec{A} arbitrário, que vou assumir não-nulo: \vec{A}\neq\vec{0} (caso contrário não dá para dividir por |\vec{A}|).
A notação \hat{A} costuma significar “o vetor unitário na direção de \vec{A}”. Então a tarefa é mostrar que a expressão à direita realmente fornece esse vetor unitário (mesma direção de \vec{A} e magnitude 1).
Passo 2
Definições e lembretes que vou usar (explicando como se fosse um mini-aula):
Magnitude (norma) de um vetor: para um vetor em 3D \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) define-se
|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.
Em dimensão n é análogo: raiz da soma dos quadrados das componentes.
Vetor unitário: um vetor \hat{u} é dito unitário se sua magnitude for 1, isto é |\hat{u}|=1. Quando dizemos “o vetor unitário na direção de \vec{A}” queremos um vetor que:
Tenha magnitude 1;
Seja paralelo a \vec{A} e aponte na mesma direção (não invertida).
Passo 3
Propriedade útil (com explicação): multiplicar um vetor por um escalar altera sua magnitude segundo
|\lambda \vec{v}|=|\lambda|\,|\vec{v}|.
Prova rápida dessa propriedade (muito usada): pelo produto interno,
logo tomando raiz positiva obtemos |\lambda \vec{v}|=|\lambda|\,|\vec{v}|. Isso significa, por exemplo, que multiplicar por um escalar positivo apenas escala o comprimento, sem inverter a direção.
Passo 4
Calcular a magnitude do vetor \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} usando a propriedade anterior, tomando \lambda=\dfrac{1}{|\vec{A}|} e \vec{v}=\vec{A}:
Multiplicar \vec{A} por um escalar positivo \dfrac{1}{|\vec{A}|} não muda a direção do vetor, apenas seu comprimento. Como o escalar é positivo, a direção permanece exatamente a mesma (se o escalar fosse negativo a direção se inverteria). Logo a condição (2) de “mesma direção e mesmo sentido” também é satisfeita.
Passo 6
Verificação componente-a-componente (para fixar bem a ideia, exemplo concreto): se \vec{A}=(A_x,A_y) em 2D, então
cuja magnitude é \sqrt{(3/5)^2+(4/5)^2}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{25/25}=1 e claramente aponta na mesma direção que (3,4). Isso ajuda a “ver” a relação na prática.
Passo 7
Caso degenerado: se \vec{A}=\vec{0} então |\vec{A}|=0 e a expressão \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} não está definida (divisão por zero). Por isso a igualdade só faz sentido para vetores não-nulos; normalmente diz-se “o vetor unitário na direção de \vec{A}, para \vec{A}\neq\vec{0}, é \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|}.”
Passo 8
Conclusão (razão final): a expressão \dfrac{\vec{A}}{|\vec{A}|} é um vetor paralelo a \vec{A} (mesma direção e sentido) e tem magnitude 1. Pelo que definimos como “vetor unitário na direção de \vec{A}”, ela é exatamente \hat{A}. Portanto mostramos que
\hat{A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|},
para \vec{A}\neq\vec{0}. Força aí — agora você já consegue normalizar qualquer vetor na prova sem mistério!