Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Mostre que vetores ortogonais satisfazem
Mostre que vetores ortogonais satisfazem
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que vetores ortogonais satisfazem
Informações dadas (explicitamente ou por definição usada aqui):
- Dois vetores são chamados ortogonais quando o ângulo entre eles é de
(ou rad). - Queremos provar que, quando o ângulo entre
e é , o produto escalar desses vetores é zero.
Passo 2
Definição geométrica útil do produto escalar (produto interno) entre dois vetores: para quaisquer vetores
e
,
onde:
-
é o módulo (comprimento) do vetor ; -
é o módulo do vetor ; -
é o ângulo entre e ; -
é a função cosseno do ângulo .
Explicando cada peça:
e
medem “o tamanho” de cada vetor;
mede quanto os vetores apontam na mesma direção (quando
eles estão alinhados no mesmo sentido; quando
eles são perpendiculares).
Passo 3
Agora use a definição de vetores ortogonais: se
e
são ortogonais, então
. Substituindo na fórmula do produto escalar:
E sabemos da trigonometria que
Portanto
Passo 4
(Mini-aula alternativa — componente cartesiana, para fixar a ideia.) Em um sistema de coordenadas ortonormal, escrevemos os vetores por componentes, por exemplo em
:
O produto escalar é definido por
Se os vetores são ortogonais, ao escolher um sistema onde
fica alinhado com um eixo, os componentes de
na direção de
são nulas (projeção nula), levando à soma acima igual a zero. Isso é coerente com a razão geométrica já mostrada:
implica produto escalar nulo. Um exemplo concreto e simples:
e
dão
Passo 5
Resumo e incentivo: a demonstração principal é curta e elegante — partir da fórmula geométrica do produto escalar e usar
. Se achar confuso, repita com exemplos em componentes como o do passo anterior: ver numericamente que a soma dos produtos das componentes dá zero ajuda a fixar a intuição. Você está indo bem — pratique com dois ou três exemplos para ganhar confiança.