Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Mostre que vetores ortogonais satisfazem
\vec{A} \cdot \vec{B}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que vetores ortogonais satisfazem
\vec{A}\cdot\vec{B}=0.
Informações dadas (explicitamente ou por definição usada aqui):
  • Dois vetores são chamados ortogonais quando o ângulo entre eles é de 90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad).
  • Queremos provar que, quando o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é 90^\circ, o produto escalar desses vetores é zero.

Passo 2

Definição geométrica útil do produto escalar (produto interno) entre dois vetores: para quaisquer vetores \vec{A} e \vec{B},
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta,
onde:
  • |\vec{A}| é o módulo (comprimento) do vetor \vec{A};
  • |\vec{B}| é o módulo do vetor \vec{B};
  • \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B};
  • \cos\theta é a função cosseno do ângulo \theta.
Explicando cada peça: |\vec{A}| e |\vec{B}| medem “o tamanho” de cada vetor; \cos\theta mede quanto os vetores apontam na mesma direção (quando \cos\theta=1 eles estão alinhados no mesmo sentido; quando \cos\theta=0 eles são perpendiculares).

Passo 3

Agora use a definição de vetores ortogonais: se \vec{A} e \vec{B} são ortogonais, então \theta=90^\circ. Substituindo na fórmula do produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos 90^\circ.
E sabemos da trigonometria que
\cos 90^\circ=0.
Portanto
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\cdot 0 = 0.

Passo 4

(Mini-aula alternativa — componente cartesiana, para fixar a ideia.) Em um sistema de coordenadas ortonormal, escrevemos os vetores por componentes, por exemplo em \mathbb{R}^3:
\vec{A}=(A_x,A_y,A_z),\qquad \vec{B}=(B_x,B_y,B_z).
O produto escalar é definido por
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Se os vetores são ortogonais, ao escolher um sistema onde \vec{A} fica alinhado com um eixo, os componentes de \vec{B} na direção de \vec{A} são nulas (projeção nula), levando à soma acima igual a zero. Isso é coerente com a razão geométrica já mostrada: \cos 90^\circ=0 implica produto escalar nulo. Um exemplo concreto e simples: \vec{A}=(1,0,0) e \vec{B}=(0,2,0) dão
\vec{A}\cdot\vec{B}=1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 0\cdot 0 = 0.

Passo 5

Resumo e incentivo: a demonstração principal é curta e elegante — partir da fórmula geométrica do produto escalar e usar \cos 90^\circ=0. Se achar confuso, repita com exemplos em componentes como o do passo anterior: ver numericamente que a soma dos produtos das componentes dá zero ajuda a fixar a intuição. Você está indo bem — pratique com dois ou três exemplos para ganhar confiança.

Resposta

\vec{A}\cdot\vec{B}=0

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