(Unesp-sp 2004) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano x(x \geq 1900), é dada por L(x)=12\left(199 \log _{10} x-651\right). Considerando \log _{10} 2=0,3, uma pessoa dessa região que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver:
A) 48,7 anos.
B) 54,6 anos.
C) 64,5 anos.
D) 68,4 anos.
E) 72,3 anos.

Passo 1

O enunciado fornece a função da expectativa de vida
L(x)=12\bigl(199\log_{10}x-651\bigr),
valida para x\geq 1900. Foi dado também que \log_{10}2=0,3. A pergunta é: qual a expectativa de vida de uma pessoa que nasceu em x=2000? Ou seja, calcular L(2000).

Passo 2

Primeiro passo técnico: substituir x=2000 na fórmula. Temos
L(2000)=12\bigl(199\log_{10}2000-651\bigr).

Passo 3

Agora calcular \log_{10}2000. Usamos a propriedade dos logaritmos \log_{10}(ab)=\log_{10}a+\log_{10}b. Escrevemos 2000=2\cdot 10^{3}, então
\log_{10}2000=\log_{10}(2\cdot 10^{3})=\log_{10}2+\log_{10}10^{3}.
Como \log_{10}2=0,3 (dado) e \log_{10}10^{3}=3, resulta
\log_{10}2000=0,3+3=3,3.

Passo 4

Substituindo esse valor em L(2000) obtemos
L(2000)=12\bigl(199\cdot 3,3-651\bigr).
Vamos calcular 199\cdot 3,3. Faço assim (para evitar calculadora): 3,3=\dfrac{33}{10}, então
199\cdot 3,3=\frac{199\cdot 33}{10}.
Calcule 199\cdot 33 com um truque: 199\cdot 33=200\cdot 33-1\cdot 33=6600-33=6567. Portanto
199\cdot 3,3=\frac{6567}{10}=656,7.

Passo 5

Continuando a conta:
199\cdot 3,3-651=656,7-651=5,7.
Agora multiplico por 12:
L(2000)=12\cdot 5,7.
Calcule 12\cdot 5,7=10\cdot 5,7+2\cdot 5,7=57+11,4=68,4. \]

Passo 6

Portanto a expectativa de vida encontrada é 68,4 anos. Entre as opções dadas isso corresponde à letra D.

Resposta

D) 68,4 anos.

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