Universidade Federal do Rio Grande do Norte । SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
4^circ. Teste CÁLCULO I Data limite para entrega <br> na plataforma moodle: <br> 3 0 / 1 1 / 2 0 2 4
Questão 2) Calcule integral0^pi2 x cos (3 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral0^pi2 x,cos(3x),dx. O conteúdo principal é o método de integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para partes: u = x e dv = cos(3x),dx. Assim, derivando e integrando temos:
  • du = dx
  • Para obter v, integramos cos(3x):
v = integral cos(3x),dx = 13,sin(3x)

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^pi2 xcos(3x),dx = l[x cdot 13sin(3x)r]0^pi2 - integral0^pi2 13sin(3x),dx

Passo 4

Calculamos o termo de borda:
l[x cdot tfrac13sin(3x)r]0^pi2 = pi2cdot 13sinl(tfrac3pi2r) - 0 = pi6,(-1) = -pi6

Passo 5

Agora calculamos a integral remanescente:
integral0^pi2 sin(3x),dx = l[ -13cos(3x)r]0^pi2 = -13l(0 - 1r) = 13

Passo 6

Multiplicando pelo fator tfrac13 que estava fora:
13 cdot 13 = 19

Passo 7

Reunindo tudo:
integral0^pi2 xcos(3x),dx = -pi6 - 19

Resposta

-\frac{\pi}{6} - \frac{1}{9}

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