(Ufrn 2007) Sabendo-se que \log A B=7 e \log \left(\frac{A}{B}\right)=3, pode-se concluir que o valor da expressão (\log A)^{2}-(\log B)^{2} é igual a:
a) 21
b) 4
c) 10
d) 40

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede o valor de uma expressão. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dados:
    • \log A B = 7.
    • \log\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=3.
  • Pedido:
    • Calcular (\log A)^{2} - (\log B)^{2}.

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades básicas e muito úteis dos logaritmos (essas são as ferramentas que resolvem o problema):
  • Produto: \log(AB) = \log A + \log B. Isso vem da definição de logaritmo e da regra de potências: transformar produtos em somas.
  • Quociente: \log\!\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log A - \log B. É a mesma ideia, produto/razão vira soma/subtração de logaritmos.
Essas fórmulas dizem que somas e diferenças de \log A e \log B aparecem diretamente nas quantidades dadas.

Passo 3

Para simplificar a escrita, defino:
  • x = \log A.
  • y = \log B.
Usando as propriedades do passo anterior, as informações do enunciado tornam-se:
  • x + y = 7, pois \log(AB)=7.
  • x - y = 3, pois \log\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=3.

Passo 4

A expressão que queremos calcular é (\log A)^{2} - (\log B)^{2}, que em x,y é x^{2}-y^{2}.
Recorde a identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y).
Essa identidade é direta: multiplicando (x-y)(x+y) expande para x^{2}-y^{2}.

Passo 5

Agora substituo os valores que já temos:
  • x+y = 7.
  • x-y = 3.
Logo,
x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y) = 3 \cdot 7 = 21.
Como verificação opcional (útil na prova): resolvendo o sistema x+y=7, x-y=3 obtém-se x=5 e y=2, e então x^{2}-y^{2}=25-4=21, mesmo resultado.

Resposta

21

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