(Ufrn 2007) Sabendo-se que
e
, pode-se concluir que o valor da expressão
é igual a:
a) 21
b) 4
c) 10
d) 40
a) 21
b) 4
c) 10
d) 40
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede o valor de uma expressão. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dados:
-
. -
.
-
- Pedido:
- Calcular
.
- Calcular
Passo 2
Vou lembrar duas propriedades básicas e muito úteis dos logaritmos (essas são as ferramentas que resolvem o problema):
- Produto:
. Isso vem da definição de logaritmo e da regra de potências: transformar produtos em somas. - Quociente:
. É a mesma ideia, produto/razão vira soma/subtração de logaritmos.
Essas fórmulas dizem que somas e diferenças de
e
aparecem diretamente nas quantidades dadas.
Passo 3
Para simplificar a escrita, defino:
-
. -
.
Usando as propriedades do passo anterior, as informações do enunciado tornam-se:
-
, pois . -
, pois .
Passo 4
A expressão que queremos calcular é
, que em
é
.
Recorde a identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados:
Recorde a identidade algébrica conhecida como diferença de quadrados:
Essa identidade é direta: multiplicando
expande para
.
Passo 5
Agora substituo os valores que já temos:
-
. -
.
Logo,
Como verificação opcional (útil na prova): resolvendo o sistema
,
obtém-se
e
, e então
, mesmo resultado.
Resposta
21