Universidade Federal do Pará (UFPA) <br> Instituto de Tecnologia (ITEC) <br> Faculdade de Engenharias Elétrica e Biomédica (FEEB) <br> 1^a Avaliação de Funções Especiais para Engenharia

Docente: Nilton Rodolfo N. M. Rodrigues
Discente:
Matrícula:
Data: 05/05/2023
A função f(x)=cotg(x) pode ser expandida em série de Taylor na forma
cotg(x)=sumn=0^infty an(x-x0)^n
Escolha um possível valor para x0 e, então, calcule os valores de a0, a1, a2 e a3.

Passo 1

Nesse problema queremos expandir cotg(x) em série de Taylor em torno de um ponto x0. Vamos escolher um ponto onde cot(x) seja finito e as derivadas sejam fáceis de calcular. Um bom palpite é x0=pi/4, pois cot(pi/4)=1. Para resolver, vamos usar a definição de série de Taylor e calcular as derivadas até a terceira ordem em x0.

Passo 2

A série de Taylor de f(x) em torno de x0 é dada por:
f(x)=sumn=0^infty an,(x-x0)^ncom an=f^(n)(x0)n!
Então precisamos de f(x)=cot(x), f'(x), f''(x) e f'''(x) avaliadas em x0=pi/4.

Passo 3

Primeiro derivamos f(x)=cot(x):
f'(x)=ddxcot(x)=-csc^2(x)
Avaliando em x0=pi/4:
a1=f'(pi/4)= -csc^2(pi/4)= -l(1sin(pi/4)r)^2=-1(tfracraiz22)^2=-2

Passo 4

Agora a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(-csc^2(x)r)=2csc^2(x)cot(x)
Em x0=pi/4:
a2=f''(pi/4)2!=2csc^2(pi/4)cot(pi/4)2=2cdot2cdot12=2

Passo 5

Por fim, a terceira derivada:
f''(x)=2cot(x)csc^2(x)implies f'''(x)=2l[-csc^4(x)-2cot^2(x)csc^2(x)r]
Em x0=pi/4 temos csc^2=2, csc^4=4 e cot^2=1, logo
f'''(pi/4)=2[-4-2cdot1cdot2]=2[-4-4]=-16
Então
a3=f'''(pi/4)3!=-166=-83

Passo 6

Reunindo os coeficientes encontramos:

Passo 7

Resposta

Escolhendo x_0=\pi/4, os coeficientes são a_0=1, a_1=-2, a_2=2 e a_3=-\tfrac{8}{3}.

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