Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos:
-
22.000,00$ de hoje a 2 meses;
- $ 57.000,00 de hoje a 5 meses;
-
90.000,00$ de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do
mês e o segundo no
mês. Sendo de
ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitin-do-se as seguintes datas de comparação:
hoje;
hoje;
Passo 1
O problema pede: trocar três obrigações por dois pagamentos iguais, de forma equivalente, usando juros simples de
ao mês e tomando como data de comparação “hoje” (tempo zero). As perguntas implícitas: qual é o valor desses dois pagamentos iguais que satisfazem a equivalência financeira?
Informações dadas:
Passo 2
Conceito importante (aula curta de juros simples e valor presente): em regime de juros simples, o montante
correspondente a um capital
aplicado por
meses é
onde
é a taxa por mês e
o número de meses. Inversamente, para trazer um pagamento futuro
para a data de comparação (valor presente
) usamos a fórmula de desconto simples:
Aqui
é o valor a vencer em
meses,
é a taxa mensal e
é quanto isso vale hoje. Vamos usar essa fórmula para cada obrigação e somar as presenças para obter o valor presente total das dívidas.
Passo 3
Calcular o valor presente de cada obrigação aplicando
.
Para a obrigação (A):
e
:
Para a obrigação (B):
e
:
Para a obrigação (C):
e
:
Em cada caso eu dividi o valor pelo denominador
(descontando juros simples) e arredondei para centavos.
Passo 4
Somar os valores presentes das três obrigações para obter o valor presente total que deve ser igual ao valor presente dos dois pagamentos novos:
(Arredondei ao centavo; se preferir, mantenha mais casas mas para provas centavos são suficientes.)
Passo 5
Agora expressamos o valor presente dos dois pagamentos iguais
, um em
meses e outro em
meses, também descontando a hoje:
Para equivalência devemos ter
Passo 6
Calcular os denominadores numéricos:
As frações correspondentes são
Somando:
Passo 7
Resolver para
pela equação
:
Cálculo feito dividindo o valor presente total pelo somatório dos fatores de desconto para 6 e 8 meses. O resultado foi arredondado ao centavo.