Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos:
  • \ 22.000,00$ de hoje a 2 meses;
  • $ 57.000,00 de hoje a 5 meses;
  • \ 90.000,00$ de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6^{\circ} mês e o segundo no 8^{\circ} mês. Sendo de 3,7 \% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitin-do-se as seguintes datas de comparação:
hoje;

Passo 1

O problema pede: trocar três obrigações por dois pagamentos iguais, de forma equivalente, usando juros simples de 3{,}7\% ao mês e tomando como data de comparação “hoje” (tempo zero). As perguntas implícitas: qual é o valor desses dois pagamentos iguais que satisfazem a equivalência financeira?
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Obrigações:}\\\ &\quad \text{(A)}\\ \\ \$\,22.000{,}00\\ \text{vencendo em }2\text{ meses},\\\ &\quad \text{(B)}\\ \\ \$\,57.000{,}00\\ \text{vencendo em }5\text{ meses},\\\ &\quad \text{\text{(C)}}\\ \\ \$\,90.000{,}00\\ \text{vencendo em }7\text{ meses}.\\[4pt] &\text{Troca desejada: dois pagamentos iguais }X\text{, vencendo em }6\text{ e }8\text{ meses.}\\[4pt] &\text{Taxa de juros simples: }i=3{,}7\%\text{ ao mês }=\;0{,}037\\ \text{(por mês).}\\[4pt] &\text{Data de comparação: hoje (tempo }0\text{).} \end{aligned}çõêêçã]

Passo 2

Conceito importante (aula curta de juros simples e valor presente): em regime de juros simples, o montante M correspondente a um capital C aplicado por t meses é
M = C\,(1 + i\,t),
onde i é a taxa por mês e t o número de meses. Inversamente, para trazer um pagamento futuro A para a data de comparação (valor presente PV) usamos a fórmula de desconto simples:
PV = \frac{A}{1 + i\,t}.
Aqui A é o valor a vencer em t meses, i é a taxa mensal e PV é quanto isso vale hoje. Vamos usar essa fórmula para cada obrigação e somar as presenças para obter o valor presente total das dívidas.

Passo 3

Calcular o valor presente de cada obrigação aplicando \displaystyle PV=\frac{A}{1+i\,t}.
Para a obrigação (A): A= \$\,22.000{,}00 e t=2:
PV_A=\frac{22.000}{1+0{,}037\cdot 2}=\frac{22.000}{1{,}074}\approx \$\,20.484{,}17.
Para a obrigação (B): A= \$\,57.000{,}00 e t=5:
PV_B=\frac{57.000}{1+0{,}037\cdot 5}=\frac{57.000}{1{,}185}\approx \$\,48.101{,}27.
Para a obrigação (C): A= \$\,90.000{,}00 e t=7:
PV_C=\frac{90.000}{1+0{,}037\cdot 7}=\frac{90.000}{1{,}259}\approx \$\,71.485{,}31.
Em cada caso eu dividi o valor pelo denominador 1+i\,t (descontando juros simples) e arredondei para centavos.

Passo 4

Somar os valores presentes das três obrigações para obter o valor presente total que deve ser igual ao valor presente dos dois pagamentos novos:
PV_{\text{total}}=PV_A+PV_B+PV_C\approx 20.484{,}17+48.101{,}27+71.485{,}31\approx \$\,140.070{,}75.
(Arredondei ao centavo; se preferir, mantenha mais casas mas para provas centavos são suficientes.)

Passo 5

Agora expressamos o valor presente dos dois pagamentos iguais X, um em t=6 meses e outro em t=8 meses, também descontando a hoje:
PV_{\text{pagamentos}}=\frac{X}{1+i\cdot 6}+\frac{X}{1+i\cdot 8} = X\!\left(\frac{1}{1+0{,}037\cdot 6}+\frac{1}{1+0{,}037\cdot 8}\right).
Para equivalência devemos ter
PV_{\text{pagamentos}}=PV_{\text{total}}.

Passo 6

Calcular os denominadores numéricos:
1+0{,}037\cdot 6 = 1{,}222,\qquad 1+0{,}037\cdot 8 = 1{,}296.
As frações correspondentes são
\frac{1}{1{,}222}=\frac{500}{611}\approx 0{,}818330,\qquad \frac{1}{1{,}296}=\frac{125}{162}\approx 0{,}771605.
Somando:
S=\frac{1}{1{,}222}+\frac{1}{1{,}296}\approx 0{,}818330+0{,}771605\approx 1{,}589935.

Passo 7

Resolver para X pela equação X\cdot S = PV_{\text{total}}:
X=\frac{PV_{\text{total}}}{S}\approx\frac{140.070{,}75}{1{,}589935}\approx \$\,88.098{,}41.
Cálculo feito dividindo o valor presente total pelo somatório dos fatores de desconto para 6 e 8 meses. O resultado foi arredondado ao centavo.

Resposta

\$\,88.098{,}41 (cada pagamento, um no final do 6.º mês e outro no final do 8.º mês)

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