(UPE) Dada a equação horária da elongação de um MHS x(t)=4 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2} t+\pi\right), onde \boldsymbol{x}(t) é dado em metros e t em segundos, analise as seguintes afirmativas:
I. A amplitude é 4 m .
II. O período é 4 s .
III. A frequência do movimento oscilatório é 0,25 Hz.

Está CORRETO o que se afirma em

a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Foi dada a equação horária
x(t)=4\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t+\pi\right),
com x(t) em metros e t em segundos. O enunciado apresenta três afirmativas a serem verificadas:
  • I. A amplitude é 4\\ \text{m}.
  • II. O período é 4\\ \text{s}.
  • III. A frequência do movimento oscilatório é 0,25\\ \text{Hz}.
O objetivo é analisar cada uma das três afirmativas e dizer quais são verdadeiras.

Passo 2

Entender o que é amplitude e identificar aqui. Amplitude é o valor máximo absoluto da elongação em um movimento harmônico simples (MHS). Na forma geral
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
a constante A é a amplitude (sempre tomada positiva como magnitude). Na nossa função A=4. Portanto a amplitude é
4\\ \text{m}.
Comentário amigo: a fase \varphi (aqui \pi) só desloca no tempo a curva, não muda a altura máxima.

Passo 3

Identificar a velocidade angular \omega. Na forma geral do cosseno o argumento tem a forma \omega t+\varphi. Comparando
\frac{\pi}{2}t+\pi \quad\text{com}\quad \omega t+\varphi,
vemos que
\omega=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular o período T. A relação entre período e velocidade angular é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\dfrac{\pi}{2} obtemos
T=\frac{2\pi}{\pi/2}=\frac{2\pi}{1}\cdot\frac{2}{\pi}=4.
Como t está em segundos, temos
T=4\\ \text{s}.
Explicação curta: o período é o tempo que a função demora para repetir uma oscilação completa; a constante multiplicando t no cosseno (a \omega) determina quão rápido isso acontece.

Passo 5

Calcular a frequência f. Frequência é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}.
Substituindo T=4\\ \text{s}
f=\frac{1}{4}=0,25\\ \text{Hz}.
Verificação alternativa (mesma conta, só outra fórmula):
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\pi/2}{2\pi}=\frac{1}{4}=0,25\\ \text{Hz}.

Passo 6

Avaliação das afirmativas individualmente:
  • I: amplitude é 4\\ \text{m} — verdadeira (já mostramos que A=4).
  • II: período é 4\\ \text{s} — verdadeira (calculado em \#Passo 4).
  • III: frequência é 0,25\\ \text{Hz} — verdadeira (calculado em \#Passo 5).
Portanto todas as três afirmativas estão corretas.

Resposta

e) I, II e III.

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