(URCA/2024.2) Se x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2}, então o valor de x^{4} é:
A) \frac{89-28 \sqrt{10}}{16}
C) \frac{89-4 \sqrt{10}}{8}
D) \frac{41-4 \sqrt{10}}{8}
В) \frac{89-4 \sqrt{10}}{16}
Е) \frac{41-4 \sqrt{10}}{16}

Passo 1

O enunciado dá
x = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}
e pede x^4. Vamos usar operações com radicais e quadrados de binômio para chegar ao resultado.

Passo 2

Primeiro calculamos x^2. Usando o quadrado de um binômio,
x^2 = \left(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{4} = \frac{5 + 2 - 2\sqrt{5}\,\sqrt{2}}{4} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{4}.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado para obter x^4:
x^4 = \biggl(\frac{7 - 2\sqrt{10}}{4}\biggr)^2 = \frac{(7 - 2\sqrt{10})^2}{16} = \frac{49 + 40 - 28\sqrt{10}}{16} = \frac{89 - 28\sqrt{10}}{16}.

Passo 4

Comparando com as alternativas, o valor de x^4 corresponde à letra A.

Resposta

A) \displaystyle \frac{89-28 \sqrt{10}}{16}

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