1. (URCA/2024.2) Considere um referencial S^{\prime} se movendo com velocidade cujo valor é u=\frac{c}{4} constante em relação a outro referencial S inercial, na direção e sentido de um eixo X no referencial S. Suponha que v_{x}=\frac{c}{2} representa a velocidade de uma partícula em relação a S ( c é a velocidade da luz no vácuo). Considere que a velocidade da referida partícula em relação a S^{\prime} é, de acordo com a transformação de Lorentz (da mecânica relativística), dada por:
v_{x}^{\'}=\frac{v_{x}-u}{1-\frac{u v_{x}}{c^{2}}}
Se p_{x} e p_{x}^{\prime} representam o momento linear relativístico da partícula em relação a S e S^{\prime}, respectivamente, podemos dizer que a razão \frac{p_{x}}{p_{x}^{\prime}} está mais próximo de:

Passo 1

O enunciado considera dois referenciais inerciais S e S', onde S' se move em relação a S com velocidade constante u = \tfrac{c}{4} ao longo do eixo X. Uma partícula tem velocidade em S dada por v_x = \tfrac{c}{2} e momentos relativísticos em cada referencial definidos por
p_x = \gamma(v_x)\,m\,v_x, \quad p_x' = \gamma(v_x')\,m\,v_x',
sendo \gamma(v)=1/\sqrt{1-(v/c)^2}. Vamos usar a transformação de velocidades de Lorentz
v_x' = \frac{v_x - u}{1 - \dfrac{u\,v_x}{c^2}}
e então calcular a razão \dfrac{p_x}{p_x'}.

Passo 2

Calcular v_x' pela fórmula da transformação de Lorentz:
v_x' = \frac{\tfrac{c}{2} - \tfrac{c}{4}}{1 - \dfrac{\tfrac{c}{4}\,\tfrac{c}{2}}{c^2}} = \frac{\tfrac{c}{4}}{1 - \tfrac{1}{8}} = \frac{\tfrac{c}{4}}{\tfrac{7}{8}} = \frac{2c}{7}.

Passo 3

Determinar os fatores de Lorentz \gamma(v_x) e \gamma(v_x'):
\gamma(v_x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2}} = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{3}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{3}},
\gamma(v_x') = \frac{1}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{4}{49}}} = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{45}{49}}} = \frac{7}{\sqrt{45}} = \frac{7}{3\sqrt{5}}.

Passo 4

Formar a razão dos momentos:
\frac{p_x}{p_x'} = \frac{\gamma(v_x)\,m\,v_x}{\gamma(v_x')\,m\,v_x'} = \frac{\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\bigr)\,\bigl(\tfrac{c}{2}\bigr)}{\bigl(\tfrac{7}{3\sqrt{5}}\bigr)\,\bigl(\tfrac{2c}{7}\bigr)} = \frac{\tfrac{c}{\sqrt{3}}}{\tfrac{2c}{3\sqrt{5}}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{3}} \approx 1{,}94.

Resposta

A razão \dfrac{p_x}{p_x'} é aproximadamente 2.

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