Ure a derivaçóo implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
x^2+y^2-z^2=2 x(y+z)

Passo 1

O enunciado pede para usar derivação implícita na equação x^2+y^2-z^2=2x(y+z) de modo a encontrar partial zpartial x e partial zpartial y. Vamos precisar lembrar que, ao diferenciar termos com z, aparece zx ou zy conforme estamos derivando em relação a x ou a y.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x:
A derivada de x^2 é 2x, de y^2 é zero (pois y é tratado como constante) e de -z^2 é -2z,zx. Do lado direito, usando regra do produto em 2x(y+z):
ddxl[2x(y+z)r] =2(y+z)+2x,zx
Assim temos:
2x - 2z,zx = 2(y+z) + 2x,zx

Passo 3

Isolando zx:
Agrupamos os termos que contêm zx de um lado:
-2z,zx - 2x,zx = 2(y+z) - 2x
Fatorando zx e dividindo:
zx,(-2z - 2x) = 2(y+z-x)
zx = 2(y+z-x)-2(z+x) = y+z-x-(z+x) = x - y - zx + z

Passo 4

Diferenciando implicitamente em relação a y:
Agora x é constante. Derivamos y^2 como 2y, x^2 some, e -z^2 vira -2z,zy. Do lado direito:
ddyl[2x(y+z)r] =2x(1+zy) = 2x + 2x,zy
Logo:
2y - 2z,zy = 2x + 2x,zy

Passo 5

Isolando zy:
Agrupamos os termos com zy:
-2z,zy - 2x,zy = 2x - 2y
Fatorando e dividindo:
zy,(-2z - 2x) = 2(x - y)
zy = 2(x-y)-2(z+x) = y - xz + x

Resposta

partial zpartial x=x-y-zx+z, partial zpartial y=y-xx+z

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