Uma urna contém 10 bolas: 5 Brancas (B), 3 Vermelhas (V) e 2 Azuis (A). Duas bolas são retiradas da urna, sem reposição. Calcule a probabilidade de:
A segunda bola ser Vermelha, DADO que a primeira foi Branca. P\left(V_{2} \mid B_{1}\right) \mathrm{zz}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a segunda bola seja Vermelha, dado que a primeira foi Branca. Ou seja, queremos P\big(V_{2}\mid B_{1}\big).\n
Informações fornecidas:
  • A urna tem 10 bolas no total.\n
  • 5 bolas Brancas ( B), 3 Vermelhas ( V) e 2 Azuis ( A).\n
  • Retiram-se 2 bolas sem reposição (ou seja, a segunda retirada acontece com uma urna que já teve a primeira bola removida).\n
    Pergunta explícita: calcular P\big(V_{2}\mid B_{1}\big).

Passo 2

Explicando o conceito que precisamos usar (de forma simples): a probabilidade condicional P(A\mid B) é a chance de ocorrer o evento A sabendo que o evento B já ocorreu. A definição matemática é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui:
  • A é o evento “ V_{2}” (segunda bola vermelha);
  • B é o evento “ B_{1}” (primeira bola branca).\n
    Mas, quando pensamos em tirar bolas em sequência sem reposição, uma forma mais direta e prática é raciocinar passo a passo: se sabemos que a primeira bola foi branca, então basta olhar para a urna já com essa bola removida e calcular a chance da segunda ser vermelha com a nova composição.

Passo 3

Aplicando o raciocínio direto (o mais simples para essa questão): se a primeira foi Branca, tiramos uma das 5 brancas, portanto as bolas restantes são:
  • Brancas restantes: 5-1=4\n
  • Vermelhas restantes: 3\n
  • Azuis restantes: 2\n
    Total de bolas restantes: 10-1=9.\n
    A probabilidade de a segunda ser Vermelha, sabendo que a primeira foi Branca, é então a proporção de vermelhas entre as 9 bolas restantes:
P\big(V_{2}\mid B_{1}\big)=\frac{3}{9}.

Passo 4

Simplificando a fração:
\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx 0,333\ldots
Esse resultado também pode ser verificado com a definição: P(B_{1})=\dfrac{5}{10} e P(B_{1}\cap V_{2})=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{6}. Então
P\big(V_{2}\mid B_{1}\big)=\frac{P(B_{1}\cap V_{2})}{P(B_{1})}=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{3},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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